A.3 B．3 C.3m D．3m 4．A
x2y2x2
10．，[2014·山东卷] 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2abay23
－2＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( ) b2
A. x±2y＝0 B. 2x±y＝0 C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0 10．A
x2y2
5．[2014·天津卷] 已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x
ab＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
x2y2x2y2
A.－＝1 B.－＝1 5202053x23y23x23y2
C.－＝1 D.－＝1 2510010025
x2y216．[2014·浙江卷] 设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐
ab
近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
516.
2
5．A
x2y28．[2014·重庆卷] 设F1，F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线
ab9
上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|2|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
4
459
A. B. C. D．3 3348．B
H7 抛物线及其几何性质
－
10．、[2014·广东卷] 曲线y＝e5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 10．y＝－5x＋3 10．[2014·辽宁卷] 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
1234A. B. C. D. 2343
10．D 10．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一→→
点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝( )
7
A. B．3 25
C. D．2 2
10．B 19．、[2014·安徽卷] 如图1-4，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2
＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
图1-4
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2
S1的面积分别为S1与S2，求的值．
S2
19．解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
??y＝k1x，2p12p1?2，则由?2 得A1?， kk??11?y＝2px，?1??y＝k1x，2p22p2?，由?2得A2?k1?. ?k21?y＝2p2x，?
2p12p1?22p2??2p2，2，同理可得B1?，B2k?k?. ?k?k
2
2
2
2
2p12p12p12p1?1111?→?－2－2，所以A1B1＝?＝2p1k2－k2，k－k， kkk??k??2
1
2
1
2
1
2
1
2p22p22p22p2?→?12－12，1－1?. －2－2，A2B2＝?＝2p2kkk??k?kkkk?2
1
2
1
2
1
2
1
→p1→
故A1B1＝A2B2，所以A1B1∥A2B2
p2
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2， →
S1?|A1B1|?2
因此＝?.
S2→?
?|A2B2|?
→
|A1B1|p1→p1→
又由(1)中的A1B1＝|A2B2|知，＝，
p2p→
|A2B2|2S1p21故＝2. S2p2
21．、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即（x－1）2＋y2＝|x|＋1， 化简整理得y2＝2(|x|＋x)．
??4x，x≥0，2
故点M的轨迹C的方程为y＝?
?0，x<0.?
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)． 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
??y－1＝k（x＋2），
由方程组?2可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
?y＝4x，?
1
当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝. 41?
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点??4，1?. 当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
2k＋1
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③
k
?Δ<0，?1(i)若?由②③解得k<－1或k>.
2??x0<0，
1
，＋∞?时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故即当k∈(－∞，－1)∪??2?
此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
??Δ＝0，??Δ>0，?(ii)若或? ?x0<0，?x0≥0，??
1??1
由②③解得k∈?－1，2?或－≤k<0.
2??
1??
即当k∈?－1，2?时，直线l与C1只有一个公共点．
??1
－，0?时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点． 当k∈??2?
11??
－，0?∪?－1，?时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点． 故当k∈?2??2????Δ>0，11(iii)若?由②③解得－1 22??x0<0， 11 －1，－?∪?0，?时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点， 即当k∈?2??2?? 故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点． 1?综上可知，当k∈(－∞，－1)∪?直线l与轨迹C恰好有一个公共点；?2，＋∞?∪{0}时， 11???－1，－1?∪?0，1?－，0?∪?－1，?时，当k∈?直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈2?2??2??2??? 时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点． 15．[2014·湖南卷] 如图1-4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)， b 原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________． a 图1-4 aa ，－a?，F?＋b，b?，代入抛物线方程得a＝p，b215．1＋2 [解析] 依题意可得C??2??2?a?bbb ＋b，化简得b2－2ab－a2＝0，即 2－2??－1＝0，解得＝1＋2. ＝2a??2??a?aa21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交5 点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|. 4 (1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程． 8 21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝， p8pp8 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋. p22p p858 由题设得＋＝3，解得p＝－2(舍去)或p＝2， 2p4p 所以C的方程为y2＝4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m， 1 所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3. m将上式代入y2＝4x， 4 并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0. m设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 4 则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)． m22?2 2＋2m＋3，－故线段MN的中点为E?m?， ?m |MN|＝4（m2＋1）2m2＋111＋2|y3－y4|＝. mm21 由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|， 211 从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即 4422 2m＋?＋?2＋2?＝ 4(m＋1)＋?m??m?? 2 2 2 2 4（m2＋1）2（2m2＋1） ， m4化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1， 故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 10．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) 3393639A. B. C. D. 48324 3? 10．D [解析] 抛物线的焦点为F??4，0?，则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝3?3?39 x－，即x＝3y＋，代入抛物线方程得y2－3 3y－＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则3?4?44 999113 －?＝. y1＋y2＝3 3，y1y2＝－，则S△OAB＝|OF||y1－y2|＝33（33）2－43??4?44224 2 21．，，[2014·山东卷] 已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． (1)求C的方程． (2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E. ①证明直线AE过定点，并求出定点坐标． ②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． p? 21．解：(1)由题意知F??2，0?. 设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为?因为|FA|＝|FD|， pp t－?， 由抛物线的定义知3＋＝?2?2?解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)． 由 p＋2t ＝3，解得p＝2， 4 p＋2t??4，0?. 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)①证明：由(1)知F(1，0)． 设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)． 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1， 由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)． y0故直线AB的斜率kAB＝－. 2