c2－a2所以＝2，
a故c＝5a，
从而双曲线E的离心率 c
e＝＝5. a
x2y2
(2)由(1)知，双曲线E的方程为2－2＝1.
a4a
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，
1
所以|OC|2|AB|＝8，
21
因此a24a＝8，解得a＝2，
2x2y2
此时双曲线E的方程为－＝1.
416
x2y2
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
416
x2y2
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
416
m
－，0?.记A(x1，y1)，设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C??k?B(x2，y2)．
??y＝kx＋m，2m2m
由?得y1＝，同理得y2＝.
2－k2＋k?y＝2x?
1
由S△OAB＝|OC|2|y1－y2|，得
22m?1?m??2m－－2＝8，
2?k??2－k2＋k?
即m2＝4|4－k|＝4(k2－4)．
y＝kx＋m，??22由?xy得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0. ??4－16＝1
2
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)． 又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
x2y2
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
416方法二：(1)同方法一．
x2y2
(2)由(1)知，双曲线E的方程为2－2＝1.
a4a
设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 11
依题意得－ 22 ?x＝my＋t，?－2t2t 由?得y1＝， 同理得y2＝. 1－2m1＋2m?y＝2x? 设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)． 2t2t11 由S△OAB＝|OC|2|y1－y2|＝8，得|t|2?1－2m＋1＋2m?＝8. 22??所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)． x＝my＋t，??2 由?x得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0. y2 ??a2－4a2＝1 因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0, 即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0， 所以a2＝4， x2y2 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1. 416 方法三：(1)同方法一． (2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得k>2或k<－2. ??y＝kx＋m，由?22得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0， ?4x－y＝0? －m2因为4－k<0，Δ>0，所以x1x2＝， 4－k22 又因为△OAB的面积为8， 14所以 |OA|2|OB|2 sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝， 2522所以x2＋y22x22＋y2＝8，化简得x1x2＝4. 511－m222所以2＝4，即m＝4(k－4)． 4－kx2y2 由(1)得双曲线E的方程为2－2＝1， a4a y＝kx＋m，??2由?x得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0. y2 ??a2－4a2＝1 因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2 ＋4a2)＝0， 即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4， x2y2 所以双曲线E的方程为－＝1. 416 x2y2 当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－416＝1有且只有一个公共点． x2y2 综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1. 416x2y2x2y2 4．[2014·广东卷] 若实数k满足0 259－k25－k9A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 4．A [解析] 本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解． ∵0 对于双曲线－＝1， 259－k其焦距为225＋9－k＝234－k； x2y2 对于双曲线－＝1， 25－k9 x2y2 21．、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O为坐标原点，椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、 ab 22xy 右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：2－2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离 ab 3 心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝3－1. 2 (1)求C1，C2的方程； (2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值． 其焦距为225－k＋9＝234－k.所以焦距相等． 图1-7 a2－b2a2＋b2333 21．解： (1)因为e1e2＝，所以2＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝ 2aa24 2 2b，从而F2(b，0)， x2 F4(3b，0)，于是3b－b＝|F2F4|＝3－1，所以b＝1，a＝2.故C1，C2的方程分别为2 2x ＋y2＝1，－y2＝1. 2 2 (2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由x＝my－1，??2?x得(m2＋2)y2－2my－1＝0. 2??2＋y＝1 易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根， －12m 所以y1＋y2＝2，y1y2＝2. m＋2m＋2 －4m??－2 因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝2，于是AB的中点为M?2，2?，故直线PQ m＋2?m＋2m＋2? mm 的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0. 22my＝－x， 24m222222 由2得(2－m)x＝4，所以2－m>0，且x＝，y＝，从而|PQ|＝ 2－m22－m2x2 －y＝12 m2＋4222x＋y＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所 2－m2|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2| 以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2 m2＋4 （m2＋2）|y1－y2| ＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝. m2＋4 ??? 2221＋m222·1＋m2又因为|y1－y2|＝（y1＋y2）－4y1y2＝，所以2d＝. m2＋2m2＋4 22221＋m213故四边形APBQ的面积S＝|PQ|22d＝＝222－1＋. 22－m22－m2而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2. 综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2. x22 20．[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦点为F，点A， aB分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)． 图1-7 (1)求双曲线C的方程； x0x (2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x a3|MF|＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值． 2|NF| 20．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a2＋1. cc11 ，－?. 由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B?2a??2aa1 又直线OA的方程为y＝x， ac?c?－?－2a?ac3 c，?，所以kAB＝则A?＝. ?a?ca c－2 3?1?x222 又因为AB⊥OB，所以2?－a?＝－1，解得a＝3，故双曲线C的方程为－y＝1. a3x0x－3x0x (2)由(1)知a＝3，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y≠0)． 33y00 2x0－3?因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M?2，，直线l与直线 3y0??3 x－3 3320x＝的交点为N，， 223y0 （2x0－3）2 （3y0）2（2x0－3）2|MF|2 则＝＝ 22＝|NF|2?3x0－3?9y0＋9（x0－2）2 ?441?2 ＋4（3y0）2（2x0－3）2422. 33y20＋3（x0－2） x20又P(x0，y0)是C上一点，则－y20＝1， 3 2 （2x0－3）2|MF|244（2x0－3）4|MF|223 代入上式得＝2＝，所以＝＝，2＝22|NF|3x0－3＋3（x0－2）234x23|NF|330－12x0＋9 为定值． 4．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )