d＝
＝24y02
x20＋y0＋2＋4x0
?2x0＋2y0?x0??
2
?4＋x0?
?x0?
2x40＋8x0＋16
2x20
2
＝2.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
x2y2
19．、[2014·福建卷] 已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝
ab2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率． (2)如图1-6，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、
四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
图1-6
19．解：方法一：
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x， b
所以＝2，
ac2－a2所以＝2，
a故c＝5a，
从而双曲线E的离心率 c
e＝＝5. a
x2y2
(2)由(1)知，双曲线E的方程为2－2＝1.
a4a
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，
1
所以|OC|2|AB|＝8，
21
因此a24a＝8，解得a＝2，
2x2y2
此时双曲线E的方程为－＝1.
416
x2y2
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
416
x2y2
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
416
m
－，0?.记A(x1，y1)，设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C??k?B(x2，y2)．
??y＝kx＋m，2m2m
由?得y1＝，同理得y2＝.
2－k2＋k?y＝2x?
1
由S△OAB＝|OC|2|y1－y2|，得
22m?1?m??2m－－2＝8，
2?k??2－k2＋k?
即m2＝4|4－k|＝4(k2－4)．
y＝kx＋m，??22由?xy得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0. ??4－16＝1
2
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)． 又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
x2y2
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
416方法二：(1)同方法一．
x2y2
(2)由(1)知，双曲线E的方程为2－2＝1.
a4a
设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 11
依题意得－ 22 ??x＝my＋t，－2t2t由?得y1＝， 同理得y2＝. 1－2m1＋2m?y＝2x? 设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)． 2t2t?11?＋由S△OAB＝|OC|2|y1－y2|＝8，得|t|21－2m1＋2m＝8. 22??所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)． x＝my＋t，??2 由?x得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0. y2 ??a2－4a2＝1 因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0, 即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0， 所以a2＝4， x2y2 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1. 416 方法三：(1)同方法一． (2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得k>2或k<－2. ??y＝kx＋m，由?22得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0， ??4x－y＝0 －m2因为4－k<0，Δ>0，所以x1x2＝， 4－k22 又因为△OAB的面积为8， 14所以 |OA|2|OB|2 sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝， 252222所以x21＋y12x2＋y2＝8，化简得x1x2＝4. 5－m222所以2＝4，即m＝4(k－4)． 4－kx2y2 由(1)得双曲线E的方程为2－2＝1， a4ay＝kx＋m，??2由?x得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0. y2 ??a2－4a2＝1 因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2 ＋4a2)＝0， 即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4， x2y2 所以双曲线E的方程为－＝1. 416 x2y2 当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－416＝1有且只有一个公共点． x2y2 综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1. 416x2y25 20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为. ab3(1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程． 21．、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即（x－1）2＋y2＝|x|＋1， 化简整理得y2＝2(|x|＋x)． ?4x，x≥0，? 故点M的轨迹C的方程为y2＝? ?0，x<0.? (2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)． 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． ?y－1＝k（x＋2），? 由方程组?2可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① ??y＝4x， 1 当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝. 41? 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点??4，1?. 当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．② 2k＋1 设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③ k ??Δ<0，1(i)若?由②③解得k<－1或k>. 2?x0<0，? 1?即当k∈(－∞，－1)∪??2，＋∞?时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故 此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点． ?Δ＝0，??Δ>0，?(ii)若?或? ??x<0，x≥0，?0?0 1??1 由②③解得k∈?－1，2?或－≤k<0. 2?? 1?? 即当k∈?－1，2?时，直线l与C1只有一个公共点． ??1 －，0?时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点． 当k∈??2? 11?? －，0?∪?－1，?时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点． 故当k∈?2??2????Δ>0，11(iii)若?由②③解得－1 22?x0<0，? 11 －1，－?∪?0，?时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点， 即当k∈?2??2?? 故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点． 1 ，＋∞?∪{0}时，综上可知，当k∈(－∞，－1)∪?直线l与轨迹C恰好有一个公共点；?2? 11???－1，－1?∪?0，1?－，0?∪?－1，?时，当k∈?直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈22??2??2?? ? ? 时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点． x2y2 21．、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O为坐标原点，椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、 ab 22xy 右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：2－2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离 ab 3 心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝3－1. 2 (1)求C1，C2的方程； (2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值． 图1-7 a2－b2a2＋b2333 21．解： (1)因为e1e2＝，所以2＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝ 2aa24 2 2b，从而F2(b，0)， x22 F4(3b，0)，于是3b－b＝|F2F4|＝3－1，所以b＝1，a＝2.故C1，C2的方程分别为2 2x ＋y2＝1，－y2＝1. 2 (2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由x＝my－1，??2?x得(m2＋2)y2－2my－1＝0. 2??2＋y＝1 易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根， －12m 所以y1＋y2＝2，y1y2＝2. m＋2m＋2 －4m??－2 因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝2，于是AB的中点为M?2，2?，故直线PQ m＋2?m＋2m＋2? mm 的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0. 22