因为直线l1和直线AB平行， y0
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
288b
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
y0y06432b2
由题意Δ＝2＋＝0，得b＝－. y0y0y044
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝2. y0y0
4
＋y0yy－y4y00E0
当y2＝－， 2＝20≠4时，kAE＝4y0y0－4xE－x0
－y240可得直线AE的方程为y－y0＝由y20＝4x0，
4y0整理可得y＝2(x－1)，
y0－4
直线AE恒过点F(1，0)． 当y20＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)． 所以直线AE过定点F(1，0)．
②由①知，直线AE过焦点F(1，0)，
11
＋1?＝x0＋＋2. 所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋??x0?x0设直线AE的方程为x＝my＋1，
因为点A(x0，y0)在直线AE上， x0－1故m＝.
y0设B(x1，y1)．
y0直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
22
由y0≠0，得x＝－y＋2＋x0.
y0
8
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，
y08
所以y0＋y1＝－，
y0
84
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
y0x0所以点B到直线AE的距离为
?4＋x0＋4＋m?y0＋8?－1?
y0????x0
d＝
1＋m24y0
(x－x0)， 2y0－4
＝
4（x0＋1）
x0
＝4?x0＋
?
1?， x0?
111
则△ABE的面积S＝34?x0＋?x0＋＋2≥16，
2?x0x0?1
当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．
x0所以△ABE的面积的最小值为16.
y2x2
20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C由上半椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0，y≥0)
ab和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为
3. 2
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
图1-5
20．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
c3
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，
a2∴a＝2，b＝1.
y22
(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x＝1(y≥0)．
4易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)， 代入C1的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根． k2－4－8k
由求根公式，得xP＝2，从而yP＝2，
k＋4k＋4
?k－4－8k?∴点P的坐标为?2，2?. ?k＋4k＋4?
??y＝k（x－1）（k≠0），
同理，由? 2
?y＝－x＋1（y≤0），?
2
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
2k→→
∴AP＝2(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．
k＋4∵AP⊥AQ，
－2k2
∴AP2AQ＝0，即2[k－4(k＋2)]＝0，
k＋4∵k≠0，
8
∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
38
经检验，k＝－符合题意，
38
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
3
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．
H8 直线与圆锥曲线（AB课时作业） 21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交5
点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
4
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
8
21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，
p8pp8
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
p22p
p858
由题设得＋＝3，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
2p4p
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m，
1
所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
m将上式代入y2＝4x，
4
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
m设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
4
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
m
22?2
2＋2m＋3，－故线段MN的中点为E?m?， ?m|MN|＝4（m2＋1）2m2＋111＋2|y3－y4|＝. mm21
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
211
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4422
2m＋?＋?2＋2?＝ 4(m＋1)＋?m??m??
2
2
2
2
4（m2＋1）2（2m2＋1）
，
m4化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 19．、[2014·安徽卷] 如图1-4，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2
＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
图1-4
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2
S1的面积分别为S1与S2，求的值．
S2
19．解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
??y＝k1x，2p12p1?2，则由?2 得A1?， kk??11?y＝2px，?1??y＝k1x，2p22p2?，由?2得A2?k1?. ?k21?y＝2p2x，?
2p12p1?22p2??2p2，2，同理可得B1?，B2k?k?. ?k?k
2
2
2
2
2p12p12p12p1?1111?→?－2－2，所以A1B1＝?＝2p1k2－k2，k－k， kkk??k??2
1
2
1
2
1
2
1
2p22p22p22p2?→?12－12，1－1?. －2－2，A2B2＝?＝2p2kkk??k?kkkk?2
1
2
1
2
1
2
1
→p1→
故A1B1＝A2B2，所以A1B1∥A2B2
p2
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2， →
S1?|A1B1|?2
因此＝?.
S2→?
?|A2B2|?
→
|A1B1|p1→p1→
又由(1)中的A1B1＝|A2B2|知，＝，
p2p→
|A2B2|2S1p21故＝2. S2p2
19．、、[2014·北京卷] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
x2y2
19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
42所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝2.
c2
故椭圆C的离心率e＝＝. a2
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)， 其中x0≠0.
→→
因为OA⊥OB，所以OA2OB＝0， 2y0即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. x0
t2
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，
2
得t＝±2，
故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2， 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
y0－2
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，
x0－t即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圆心O到直线AB的距离
|2x0－ty0|
d＝.
（y0－2）2＋（x0－t）22y02
又x2＋2y＝4，t＝－，故 00
x0