图1-7 a2－b2a2＋b2333
21．解： (1)因为e1e2＝，所以2＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝
2aa24
2
2b，从而F2(b，0)，
x22
F4(3b，0)，于是3b－b＝|F2F4|＝3－1，所以b＝1，a＝2.故C1，C2的方程分别为2
2x
＋y2＝1，－y2＝1.
2
(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由x＝my－1，??2
22
?x得(m＋2)y－2my－1＝0. 2
＋y＝1??2
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，
－12m
所以y1＋y2＝2，y1y2＝2.
m＋2m＋2
－4m??－2
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝2，于是AB的中点为M?2，2?，故直线PQ
m＋2?m＋2m＋2?
mm
的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
22my＝－x，
24m222222
由2得(2－m)x＝4，所以2－m>0，且x＝2，y＝2，从而|PQ|＝2－m2－mx
－y2＝12
m2＋4222x＋y＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所
2－m2|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|
以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2
m2＋4
（m2＋2）|y1－y2|
＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝. m2＋4
???
2221＋m222·1＋m2又因为|y1－y2|＝（y1＋y2）－4y1y2＝，所以2d＝.
m2＋2m2＋4
22221＋m213
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|22d＝＝222－1＋.
22－m22－m2而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2. 综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
1x2y2
15．[2014·江西卷] 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)相交
2ab于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
15.2
2
x2y2
15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的
94
焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______．
15．12 20．、[2014·辽宁卷] 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，
x2y2
当该三角形面积最小时，切点为P(如图1-6所示)．双曲线C1：2－2＝1过点P且离心率
ab
为3.
图1-6
(1)求C1的方程；
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
x0
20．解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0
y0
4x0?0，4?.，0?，＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为??x0??y0?y0
14482
故其围成的三角形的面积S＝22＝.由x2当且仅当x0＝y0＝2时0＋y0＝4≥2x0y0知，2x0y0x0y0
x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(2，2)．
22??a2－b2＝1，
由题意知?
y2
解得a＝1，b＝2，故C1的方程为x－＝1.
2
2
2
2
??a2＋b2＝3a2，
x2y2
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C2的方程为＋2＝1，
b13＋b21
其中b1>0.
22
由P(2，2)在C2上，得2＋2＝1， 3＋b1b1解得b21＝3，
x2y2
因此C2的方程为＋＝1.
63
显然，l不是直线y＝0.
设直线l的方程为x＝my＋3，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??x＝my＋3，由?x2y2得(m2＋2)y2＋2 3my－3＝0. ??6＋3＝1，
又y1，y2是方程的根，因此
2 3m
y1＋y2＝－2， ①
m＋2
－3
y1y2＝2，
m＋2
②
由x1＝my1＋3，x2＝my2＋3，得
4 3
x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2 3＝2 ， ③
m＋2
?????
?????xx＝myy＋
2
6－6m2
3m（y1＋y2）＋3＝2. ④1212
m＋2
→→→→
因为AP＝(2－x1，2－y1)，BP＝(2－x2，2－y2)，由题意知AP2BP＝0， 所以x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m2－2 6m＋4 6－11＝0，
3 66
解得m＝－1或m＝－＋1.
22
因此直线l的方程为
3 66x－(－1)y－3＝0或x＋(－1)y－3＝0.
22
x2y236．[2014·全国卷] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，
ab3过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为( )
x2y2x22
A.＋＝1 B.＋y＝1 323x2y2x2y2
C.＋＝1 D.＋＝1 1281246．A
x2y220．、、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率
ab为
323，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． 23
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 22320．解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝3.
c3c3
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. a2x22
故E的方程为＋y＝1.
4
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
x22
将y＝kx－2代入＋y＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
43
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
48k±24k2－3x1，2＝，
4k2＋1从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2| 4k2＋1·4k2－3＝.
4k2＋1又点O到直线l的距离d＝所以△OPQ的面积
44k2－31
S△OPQ＝d2|PQ|＝. 24k2＋1
4t4
设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝2＝. 4t＋4
t＋t
47
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0，
t2
777
所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
222
x2y2
20．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右
ab
焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
3
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
4
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝ 5|F1N|，求a，b.
b2?22?20．解：(1)根据c＝a－b及题设知M?c，a?，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
c1c
解得＝，＝－2(舍去)．
a2a
1
故C的离心率为.
2
(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，
b2
2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
a
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
3
?2（－c－x1）＝c，??x1＝－2c，??即? ?－2y＝2，?1??y1＝－1.
29c1
代入C的方程，得2＋2＝1.②
4ab
9（a2－4a）122将①及c＝a－b代入②得＋＝1，
4a24a
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.
2
. k2＋1
x2y2x2
10．，[2014·山东卷] 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2abay23
－2＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( ) b2
A. x±2y＝0 B. 2x±y＝0 C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
a2－b2a2＋b210．A [解析] 椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2
aaa2－b2a2＋b2＝2＝
aa
b?1－??a?32
b?23?1＋?a?＝，
2
b?21b22?解得?a?＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x.故选A.
2a22
y2x2
20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C由上半椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0，y≥0)
ab和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为
3. 2
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
图1-5
20．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
c3
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，
a2∴a＝2，b＝1.
y22
(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x＝1(y≥0)．
4易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)， 代入C1的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根． k2－4－8k
由求根公式，得xP＝2，从而yP＝2，
k＋4k＋4
?k－4－8k?∴点P的坐标为?2，2?. ?k＋4k＋4?
2