三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面 内的两个测点C与D．现测得
?BC??D，???B，D?C，
并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．
【解析】在△BCD中，?CBD?π????．
由正弦定理得所以BC?BCCD?．
sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs?sin?． ?sin?CBDsin(???)在Rt△ABC中，
AB?BCtan?ACB?
s?tan?sin?．
sin(???)S
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥S?ABC中，侧面SAB与侧面SAC 均为等边三角形，?BAC?90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO?平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A?SC?B的余弦值．
【解析】（Ⅰ）证明：
由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，
△ABC为等腰直角三角形，
O B C A
2所以OA?OB?OC?SA，且AO?BC，
2又△SBC为等腰三角形，故SO?BC， 且SO?S
M
2SA，从而OA2?SO2?SA2． 2B O A
C
所以△SOA为直角三角形，SO?AO． 又AO?BO?O．
所以SO?平面ABC． （Ⅱ）解法一：
取SC中点M，连结AM，OM，由（Ⅰ）知SO?OC，SA?AC， 得OM?SC，AM?SC．
∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角．
由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC．
所以AO?OM，又AM?3SA， 26
故sin?AMO?AO26． ??AM333． 3所以二面角A?SC?B的余弦值为解法二：
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系O?xyz．
设B(1，0，0)，则C(?1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)，．
??1?1??????11?????11?????SC的中点M??，0，?，MO??，0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)．
222222???????????????????????∴MO·SC?0，MA·SC?0．
?????????故MO?SC，MA?SC， 二面角A?SC?B的平面角． z S ??????????????????MO·MA3， cos?MO，MA????????????3MO·MA3． 3O M C A y 所以二面角A?SC?B的余弦值为19．（本小题满分12分） x B x2?y2?1 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2有两个不同的交点P和Q． （I）求k的取值范围； （II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k， ????????????使得向量OP?OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?2， x2?(kx?2)2?1． 代入椭圆方程得2整理得??1??k2?x2?22kx?1?0 ① ?2? 7 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于??8k2?4??1??k2??4k2?2?0， ?2?解得k?? ??2??222??，?∞或k?．即k的取值范围为??∞，． ???????2??222??????????（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP?OQ?(x1?x2，y1?y2)， 由方程①，x1?x2??42k．② 又y1?y2?k(x1?x2)?22．③ 21?2k而A(2，，0)B(01，)，AB?(?21，)． ????????????????2所以OP?OQ与AB共线等价于x1?x2??2(y1?y2)，将②③代入上式，解得k?． 2由（Ⅰ）知k??22或k?，故没有符合题意的常数k． 22 20．（本小题满分12分） 如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形 mS. 假设正方形nABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为 点的数目． （I）求X的均值EX； （II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际 D C 值之差 ????)内的概率． 在区间(?0.03，附表：P(k)?tt10000?t C?0.25?0.75?10000t?0kM A B k 2424 2425 2574 2575 P(k) 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590 【解析】每个点落入M中的概率均为p? 11??．依题意知X~B?10000，?． 44??（Ⅰ）EX?10000?1?2500． 4 8 （Ⅱ）依题意所求概率为P??0.03???X??4?1?0.03?， 10000?X??P??0.03??4?1?0.03??P(2425?X?2575) 10000??2574?t?24262574?Ct10000?0.25t?0.7510000?t 2425t?0?t?2426?Ct10000?0.25?0.75t10000?tt??C10000?0.25t?0.7510000?1 ?0.9570?0.0423?0.9147． 21．（本小题满分12分） 设函数f(x)?ln(x?a)?x2 （I）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln【解析】（Ⅰ）f?(x)?e． 213?2x，依题意有f?(?1)?0，故a?． 2x?a2x2?3x?1(2x?1)(x?1)?从而f?(x)?． 33x?x?223?3?f(x)的定义域为??，?∞?，当??x??1时，f?(x)?0； 2?2?当?1?x??当x??1时，f?(x)?0； 21时，f?(x)?0． 2从而，f(x)分别在区间??，?1?，?∞?单调增加，在区间??1，???，?3?2??1??2????1??单调减少． 2?2x2?2ax?1?∞)，f?(x)?（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a，． x?a方程2x?2ax?1?0的判别式??4a?8． （ⅰ）若??0，即?2?a?222，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值． （ⅱ）若??0，则a?2或a??2． 9 (2x?1)2若a?2，x?(?2． ，∞?)，f?(x)?x?2当x??2时，f?(x)?0， 2??2??2??∞?当x???2，???????2，?时， 2????f?(x)?0，所以f(x)无极值． (2x?1)2若a??2，x?(2?0，f(x)也无极值． ，∞?)，f?(x)?x?2（ⅲ）若??0，即a?2或a??2，则2x2?2ax?1?0有两个不同的实根 ?a?a2?2?a?a2?2，x2?． x1?22当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点， 故f(x)无极值． 当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值． 综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，∞?)． f(x)的极值之和为 1ef(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22?ln?a2?1?1?ln2?ln． 22 22．请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知AP是?O的切线，P为切点，AC是 P ?O的割线，与?O交于B，C两点，圆心O在 ?PAC的内部，点M是BC的中点． ，P，O，M四点共圆； （Ⅰ）证明A（Ⅱ）求?OAM??APM的大小． 【解析】（Ⅰ）证明：连结OP，OM． 因为AP与?O相切于点P，所以OP?AP． 因为M是?O的弦BC的中点，所以OM?BC． A B O M C P 于是?OPA??OMA?180°． 由圆心O在?PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以 10 A B O M C