∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题． ∴真命题是q1，q4.答案：C
6.解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.答案：B
1117.解析：由框图知：k＝1时，S＝0＋； k＝2时，S＝＋；
1×21×22×3
1111111
当k＝3时，S＝＋＋； 当k＝4时，S＝＋＋＋；
1×22×33×41×22×33×44×5满足条件k<5，故还需进行下一步运算，
111111111115
当k＝5时，S＝＋＋＋＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝，
1×22×33×44×55×62235666不满足条件k<5，故输出S，选D.
8.解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)－8＝－x－8， 又f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x－8，
??x－8，x≥0
∴f(x)＝?3
?－x－8，x<0???x≥2
?3
??x－2?－8>0?
3
3
3
3
???x－2?－8，x≥2
.∴f(x－2)＝?3
?－?x－2?－8，x<2?
3
，
α??x<2
或?3
?－?x－2?－8>0?
α，解得x>4或x<0.答案：B
43
9.解析：∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－，
55
cos＋sin22
1＋tan∴
αcos＋sin
22
α2
cos
α2
α＝＝＝
αααααααα1－tancos－sincos－sin?cos－sin??cos＋sin?222222222
?cos＋sin?22
αα2
αcos
α2
3
1－51＋sinα1＋sinα1
＝＝＝＝－.答案：A
cosα422α2αcos－sin－
22510.解析：三棱柱如图所示，由题意可知：
球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处， 连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R，
23a3aa23a27a2
由题意知：O1B＝×＝，所以半径R＝()＋()＝，
32323127πa所以球的表面积是S＝4πR＝.答案：B
3
2
2
2
11.解析：由a，b，c互不相等，结合图象可知 ：这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上，
36
不妨设a∈(0,1)，b∈(1,10)，c∈(10,12)，由f(a)＝f(b)得lga＋lgb＝0， 即lgab＝0，所以ab＝1，所以abc∈(10,12)．答案：C
x2y2
12.解析：设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab??
由题意知c＝3，a＋b＝9，设A(x，y)，B(x，y)则有：?xy??a－b＝1
2
2
1
1
2
2
2
22222x2y211
2－2＝1ab
，
y1－y2b2?x1＋x2?－12b24b2
两式作差得：＝＝＝，
x1－x2a2?y1＋y1?－15a25a2
－15－02222
又AB的斜率是＝1，所以将4b＝5a代入a＋b＝9得
－12－3
a＝4，b＝5，所以双曲线标准方程是－＝1.答案：B
4
5
二、填空题：
13.解析：由均匀随机数产生的原理知：
在区间[0,1]满足yi≤f(xi)的点都落在了函数y＝f(x)的下方， 0≤x≤1??
又因为0≤f(x)≤1，所以由?0≤y≤1
??y≤f?x?由积分的几何意义知
22
x2y2
围成的图形的面积是，
N1
N?10N1N1
f(x)dx＝.答案：
NN14.解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形．
答案：三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分) 15.解析：设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，由题意知：
2
2
2
?－1?b＝－1
a－2
?|a－b－1|??2＝r?4－a?＋?1－b?＝r222
2
，解之得：a＝3，b＝0，r＝2，
所以圆的方程是：(x－3)＋y＝2.答案：(x－3)＋y＝2 16.解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，
1
又因为AD＝2，所以S△ADC＝AD·DCsin60°＝3－3，所以DC＝2(3－1)，
2
11
又因为BD＝DC，所以BD＝3－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝DC·AE＝3－3，
22所以AE＝3，又在直角三角形AED中，DE＝1，
222
37
所以BE＝3，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°， 在直角三角形AEC中，EC＝23－3，所以tan∠ACE＝＝
AE3
＝2＋3，
EC23－3
所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.答案：60° 三、解答题：
17.解：(1)由已知得，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(2
2n－1
＋2
2n－3
＋…＋2)＋2＝2
2(n＋1)－1
，
2n－1
而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2(2)由bn＝nan＝n·2
2n－1
.
知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1
2
3
5
7
①
从而2·Sn＝1·2＋2·2＋3·2＋…＋n·2①－②得
(1－2)Sn＝2＋2＋2＋…＋2
2
3
5
2n－1
2n＋1
②
－n·2
2n＋1
12n＋1
.即Sn＝[(3n－1)2＋2]．
9
18.解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)．
(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)， 1m则D(0，m,0)，E(，，0)．
22
????????1m可得PE＝(，，－n)，BC＝(m，－1,0)．
2
2
?mm???????因为PE·BC＝－＋0＝0，所以PE⊥BC.
22
(2)由已知条件可得m＝－故C(－
3
，n＝1， 3
3313
，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)． 3326
?????n·HE＝0，
设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，则??????n·HP＝0，
因此可以取n＝(1，3，0)．
??1x－3y＝0，
6即?2??z＝0.
????????2
由PA＝(1,0，－1)，可得|cos〈PA，n〉|＝，
4
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为
2. 4
38
19.解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的70
老年人的比例的估计值为＝14%.
500
500×?40×270－30×160?
(2)K＝≈9.967.
200×300×70×430
2
2
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
4
20.解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.
3
l的方程为y＝x＋c, 其中c＝a2－b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
y＝x＋c，??22?xy2＋2＝1.??ab
2
化简得(a＋b)x＋2acx＋a(c－b)＝0，
2222222
－2aca?c－b?则x1＋x2＝2. 2，x1x2＝
a＋ba2＋b2因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝ 2[?x1＋x2?－4x1x2]. 44abca－b222
得a＝22，故a＝2b，所以E的离心率e＝＝＝. 3a＋baa2(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
2
2
2
2
222
x0＝
x1＋x2
2－ac2c＝22＝－c，y0＝x0＋c＝. a＋b33
2
由|PA|＝|PB|得kPN＝－1.即
y0＋1
＝－1， x0
x2
y2
得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.
189
21.解：(1)a＝0时，f(x)＝e－1－x，f′(x)＝e－1. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加． (2)f′(x)＝e－1－2ax.
由(1)知e≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立． 故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，
1
即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.
2
39
xxxx
1x－xx－x－xxx由e>1＋x(x≠0)可得e>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x) 22a)， 故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，综合得a的取值1 范围为(－∞，]． 2 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． ?，所以∠BCD＝∠ABC. 22.证明：(1)因为?AC＝BD又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故＝ π22 23.解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x＋y＝1. 3联立方程组? BCCD2 ，即BC＝BE×CD. BEBC?y＝3?x－1?，?x2＋y2＝1， 13 解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)． 22 (2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0. A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)， 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 1 x＝sinα，??2?1??y＝－2sinαcosα， 2 1 4 (α为参数)． P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝ 故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆． ??－2x＋5，x<2， 24.解：(1)由于f(x)＝? ?2x－3，x≥2，? 1 161414 则函数y＝f(x)的图象如图所示． (2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知， 1 当且仅当a≥或a<－2时，函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点． 2 40