由|NA|?|NB|?|NC|?0 ,设D为BC中点,则有NA+2ND＝0. 则N为中线靠近中点的三等分点,即为重心.
由|PA|?|PB|?|PB|?|PC|?|PB|?(PC?PA)?0?PB?AC?0,同理,有|PA|?|BC|?0，
|PC|?|AB|?0.则P为垂心,故选C.
10.答案:B解析:当x＜0时输出y恒为0,当x＝0时,输出y＝0.
当x＝0.5时,输出y＝x＝0.5.当1≤x≤2时输出y恒为1,而h＝0.5,故x＝1、1.5、2. 故输出的各个数之和为0.5+3＝3.5.故选B.
11.答案:A解析:由三视图可知原棱锥为三棱锥,记为P—ABC(如图). 且底边为直角三角形,顶点P在底面射影为底边AC的中点,
且由已知可知AB＝BC＝6,PD＝4.
111?6?6?2??6?5??4?62 ?48?122.故选A. 22212.答案:C解析:令2x＝x+2?x1＜0(舍)或x2＝2,令2x＝10－x即2x+x＝10,则2＜x＜3.
则全面积为S?则可知f(x)的大致图象如下图所示.
故f(x)≤6,即选C.
填空题
13.答案:y＝x
解析:由F(1,0)知抛物线C的方程为y2＝4x,设A(x1,y1),B(x2,y2),
y1?y2则有y1＝4x1,y2＝4x2,两式相减有y1－y2＝4(x1－x2)??(y1?y2)?4?kAB?1.
x1?x22
2
2
2
故lAB:y－2＝x－2,即y＝x.
9?43?5?)?解析:T?2?(2??,故??.
10542443?????2k?? (k∈Z). ∴y?sin(x??),令4?554211?9?则??2k??,k∈Z.又－π≤φ＜π, 则??.
101014.答案:
15.答案:140 解析:分两步:(一)有一人不参加活动C7,
26
1
313(二)将6人分成二组,每组3人安排在两天工作C6.故共有C7?C6?140.
16.答案:10解析:由am－1+am+1－am2＝0且am－1+am+1＝2am知am2＝2am?am＝2或am＝0. 又S2m－1＝38知am≠0,故am＝2,则S2m－1＝(2m－1)×2＝38?m＝10.
三、解答题
18.分析:本小题主要考查三角形中正、余弦定理的应用.
解:方案一:①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N的俯角α2,β2;A,B的距离d(如图所示).
②第一步:计算AM.由正弦定理AM?dsin?2;
sin(?1??2)第二步:计算AN.由正弦定理AN?dsin?2;
sin(?2??1)AM2?AN2?2AM?ANcos(?1??2).
第三步:计算MN.由余弦定理MN?方案二:①需要测量的数据有:
A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B的距离d(如图所示). ②第一步:计算BM.由正弦定理BM?dsin?1;
sin(?1??2)第二步:计算BN.由正弦定理BN?dsin?1;
sin(?2??1)BM2?BN2?2BM?BNcos(?2??2)
第三步:计算MN.由余弦定理MN?19.分析:本小题第(1)问考查分层抽样和相互独立事件同时发生的概率. 第(2)问考查频率分布直方图及期望的求解.
1,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人10111??都被抽到的概率为p?. 1010100解:(1)甲、乙被抽到的概率均为
(2)①由题意知A类工人中应抽查25名,B类工人中应抽查75名. 故4+8+x+5+3＝25,得x＝5, 6+y+36+18＝75,得y＝15. 频率分布直方图如下:
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从直方图可以判断:B类工人中个体间的差异程度更小. ②xA?
图2 B类工人生产能力的频率分布直方图
48553?105??115??125??135??145?123, 25252525256153618xB??115??125??135??145?133.8,
757575752575x??123??133.8?131.1.
100100A类工人生产能力的平均数,B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.
20分析:本小题主要考查线面垂直、线面平行的基本空间位置关系.第(1)问可以通过线面垂直去求证线线垂直.第(2)问可利用第(1)问结论进一步求解.第(3)问可以从线面平行需要的条件进行转化.亦可以从空间向量方向入手.
解法一:(1)证明:连BD,设AC交BD于O,由题意SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.
(2)设正方形边长a,则SD?2a.又OD?2a,所以∠SDO＝60°. 2连OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD.所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角. 由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD＝30°,即二面角P－AC－D的大小为30°. (3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC. 由(2)可得PD?2a,故可在SP上取一点N,使PN＝PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连BN,4在△BDN中知BN∥PO.
又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.由于SN∶NP＝2∶1,故SE∶EC＝2∶1. 解法二:(1)证明:连BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,OB、OC、OS分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标O—xyz,如图.
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设底面边长为a,则高SO?6226a),D(?a,0,0),C(0,a,0), a.于是S(0,0,2222OC＝(0,
226a,0),SD＝(?a,0, ?a),OC?SD?0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD. 222266a,0, a),平面DAC的一个法向量OS＝(0,0, a).2223,所求二面角的大小为30°. 2(2)由题设知,平面PAC的一个法向量DS＝(
设所求二面角为θ,则cos???S?DS|?S||DS|?(3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知DS是平面PAC的一个法向量, 且DS＝(
2626a,0, a),CS＝(0, ?a,a).设CE?tCS, 22221226a,at).而BE?DS?0?t?, a(1?t),
3222则BE?BC?CE?BC?tCS＝(?即当SE∶EC＝2∶1时, BE?DS.而BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC.
20.分析:本题第(1)问求椭圆中的基本参数.
第(2)问考查形如(a－λ)x2+by2＝c(其中a,b,c为定值)所表示的曲线类型,渗透着分类讨论思想. 解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已知得??a?c?1,解得a＝4,c＝3.
?a?c?7,x2y2??1. 所以椭圆C的标准方程为
1679x2?112|OP|222(2)设M(x,y),其中x∈［－4,4］.由已知及点P在椭圆C上可得, ????22216(x?y)|OM|整理得(16λ2－9)x2+16λ2y2＝112,其中x∈［－4,4］. ①??3时,化简得9y2＝112, 4所以点M的轨迹方程为y??47(－4≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段. 3 29
x2y23112?1,其中x∈［－4,4］. ②??时,方程变形为112?416?2?916?2当0＜λ＜当
3,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分; 43＜λ＜1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分; 4当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆. 21.
分析:第(1)问考查利用导数求单调区间,属容易题. 第(2)问考查极值点与导函数的关系.
－
解:(1)当a＝b＝－3时,f(x)＝(x3+3x2－3x－3)ex,故
－－－－
f′(x)＝－(x3+3x2－3x－3)ex +(3x2+6x－3)ex＝－ex (x3－9x)＝－x(x－3)(x+3)ex. 当x＜－3或0＜x＜3时,f′(x)＞0;当－3＜x＜0或x＞3时,f′(x)＜0. 从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少.
－－－
(2)f′(x)＝－(x3+3x2+ax+b)ex +(3x2+6x+a)ex＝－ex［x3+(a－6)x+b－a］.
－
由条件得f′(2)＝0,即23+2(a－6)+b－a＝0,故b＝4－a.从而f′(x)＝－ex［x3+(a－6)x+4－2a］. 因为f′(α)＝f′(β)＝0,所以x3+(a－6)x+4－2a＝(x－2)(x－α)(x－β)＝(x－2)［x2－(α+β)x+αβ］. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a－2. 故????(???)2?4???12?4a.
又(β－2)(α－2)＜0，即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a＜－6.于是β－α＞6. 22.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等. 证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,
所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°. 于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆. (2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆, 所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD, 可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.
23.分析:参数方程的考查,即为三角函数中同角三角函数的基本关系sin2x+cos2x＝1的应用; 第(2)小问点到直线距离公式的应用.
x2y2??1. 解:(1)C1:(x+4)+(y－3)＝1,C2:
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C1为圆心是(－4,3),半径是1的圆.
C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当t??3时,P(－4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M(－2+4cosθ,2?sin?). 22d?5|4cos??3sin??13|. 5C3为直线x－2y－7＝0,M到C3的距离
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