从而当cos??4385,sin???时,d取得最小值 55524.分析:第(1)小问考查绝对值的几何意义——距离问题.第(2)小问考查含绝对值不等式的解法及分段思想. 解:(1)y＝4|x－10|+6|x－20|,0≤x≤30.(2)依题意,x满足?解不等式组,其解集为［9,23］.所以x∈［9,23］.
?4|x?10|?6|x?20|?70,
?0?x?30.
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合A?xx?2,x?R，B?x???x?4,x?Z，则A?B?
?（A）?0,2? （B）?0,2? （C）?0,2? （D）?0,1,2? （2）已知复数z?3?i?1?3i?2，z是z的共轭复数，则z?z
11 （B） （C）1 （D）2 42x（3）曲线y?在点??1,?1?处的切线方程为
x?2（A）
（A）y?2x?1 （B）y?2x?1 （C）y??2x?3 （D）y??2x?2 （4）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为
31
?2,?2，
?
（5）已知命题
p1：函数y?2x?2?x在R为增函数， p2：函数y?2x?2?x在R为减函数，
则在命题q1：p1?p2，q2：p1?p2，q3：??p1??p2和q4：p1???p2?中，真命题是 （A）q1，q3 （B）q2，q3 （C）q1，q4 （D）q2，q4
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
（A）100 （B）200 （C）300 （D）400 （7）如果执行右面的框图，输入N?5，则输出的数等于 （A）
5465 （B） （C） （D） 45563（8）设偶函数f?x?满足f?x??x?8?x?0?，则xf?x?2?＞0?
??（A）xx＜-2或x＞4 （B）xx＜0或x＞4 （C）xx＜0或x＞6 （D）xx＜-2或x＞2
????????（9）若cos???4，?是第三象限的角，则51?tan1?tan??2?
2（A）?11 （B） （C）2 （D）?2
2273112?a （D）5?a2 3（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
2（A）?a （B）?a （C）
2 32
?lgx,0＜x?10,?（11）已知函数f?x???1若a，b，c互不相等，且f?a??f?b??f?c?，则abc的取
??x?6,x＞10?2值范围是
（A）?1,10? （B）?5,6? （C）?10,12? （D）?20,24?
（12）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为
x2y2x2y2x2y2??1 （B） ??1 （C） ??1 （D）（A）
364563x2y2??1 54第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13） 设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分
?10f(x)dx,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2…,xN和y1,y2…,yN,由此得到N
个点（x1，y1）（i=1,2,…,N）,在数出其中满足y1≤f(x1)（（i=1,2,…,N））的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分
?10f(x)dx的近似值为 .
(14)正视图为一个三角形的几何体可以是 ．(写出三种)
(15)过点A(4,1)的圆C与直线x?y?1?0相切于点 B(2,1)．则圆C的方程为 . (16)在?ABC中，D为边BC上一点，BD=
1DCDC,?ABC=120°，AD=2，若?A2的面积为3?3，则?BAC=
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分l2分)
设数列?an?满足a1?2，an?1?an?3?22n?1
（Ⅰ)求数列?an?的通项公式：（Ⅱ）令bn?nan，求数列?bn?的前n项和Sn. (18)(本小题满分12分)
如圈，己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,AC⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高，E为AD中点. （Ⅰ)证明：PE⊥BC
（Ⅱ）若?APB=?ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值. (19)(本小题满分12分)
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
33
（Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.
(20)（本小题满分12分）
x2y2设F1,F2分别是椭圆E:2?2?1（a>b>0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E 相较于A,B两点，
ab且AF2,AB,BF2成等差数列.
（Ⅰ)求E的离心率；（Ⅱ）设点P（0,-1）满足PA?PB,求E的方程. (21)（本小题满分12分）设函数f(x)=e?1?x?ax.
（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
(22) (本小题满分10分) 选修4—1；几何证明选讲
[来
x2?,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，如图，已知圆上的弧?AC=BD证明：
（Ⅰ)?ACE=?BCD; （Ⅱ）BC?BE?CD;
(23) （本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程
2?x?cos?,?x?1?tcos?.已知直线C1:? （t为参数），圆C2:? (?为参数)，
y?sin?,y?tsin?,??（Ⅰ)当?=
?时，求C1与C2的交点坐标； 3（Ⅱ）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A,P为OA的中点，当?变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;
34
(24) （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
设函数f(x)=2x?4?1
（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围.
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题：
1.解析：∵A＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|0≤x≤16，x∈Z}， ∴A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}． 答案：D
3＋i3＋i3＋i3＋i
2.解析：∵z＝＝＝＝ 2
?1－3i?1－23i－3－2－23i－2?1＋3i?＝
?3＋i??1－3i?3－3i＋i＋323－2i3－i
＝＝＝，
－2×?1＋3?－8－8－4
3＋i12
，∴z·z＝|z|＝. －44
∴z＝
答案：A 3.解析：∵y′＝
x′?x＋2?－x?x＋2?′22
＝22，∴k＝y′|x＝－1＝2＝2，
?x＋2??x＋2??－1＋2?
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 答案：A
π
4.解析：法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为2，排除A、D，由角速度为1知，当t＝
45π
或t＝时，
4
P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C.
法二：由题意知P(2cos(t－
ππ)，2sin(t－))， 44
π
∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2|sin(t－)|，
4π
当t＝0时，d＝2；当t＝时，d＝0.答案：C
4
5.解析：p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题； ∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
35