（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1?，C2?．写出C1?，C2?的参数方程．C1?与C2?公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)?x?8?x?4． （Ⅰ）作出函数y?f(x)的图像； （Ⅱ）解不等式x?8?x?4?2．
1 O 1 x y 参考答案
一、选择题 1．B 2．B 7．C 8．D 二、填空题 13．3
3．D 9．A 4．C 10．D 5．A 11．A 6．B 12．C
14．
32 1515．
4? 316．
1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）． 3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀． 三、解答题 17．解：
（Ⅰ）设?an?的公差为d，由已知条件，?所以an?a1?(n?1)d??2n?5．
?a1?d?1，解出a1?3，d??2．
?a1?4d??5n(n?1)d??n2?4n?4?(n?2)2． （Ⅱ）Sn?na1?2所以n?2时，Sn取到最大值4． 18．解：
z D? A? D A H P C? B? C B y 16
x
如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D?xyz．
?????????则DA?(1，0，0)，CC??(0，01)，．连结BD，B?D?．
在平面BB?D?D中，延长DP交B?D?于H．设DH?(m，m，1)(m?0)，
??????????????由已知?DH，DA??60?，由
??????22?2，，1?可得2m?2m?1．解得m?，所以DH??． ??2?22?2
22?0??0?1?1??????????222CC????（Ⅰ）因为cos?DH，，
21?2??????????所以?DH，CC???45?．即DP与CC?所成的角为45?．
（Ⅱ）平面AA?D?D的一个法向量是DC?(01，，0)．
????22?0??1?1?0??????????????????122cos?DH，DC???因为，所以?DH，DC??60?．
21?2可得DP与平面AA?D?D所成的角为30． 19．解：（Ⅰ）由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 0.8 10 0.2 Y2 2 0.2 8 0.5 12 0.3 ?P EY1?5?0.8?10?0.2?6，
P DY1?(5?6)2?0.8?(10?6)2?0.2?4， EY2?2?0.2?8?0.5?12?0.3?8，
DY2?(2?8)2?0.2?(8?8)2?0.5?(12?8)2?0.3?12．
4?x??100?x??x??100?x??x2?3(100?x)2??（Ⅱ）f(x)?D? Y1??D?Y2???DY?DY12???2??100100100?????100??100??600422x??75时，f(x)?3为最小值． (4x?600x?3?100)，当22?410055，所以x1?1?， 33222，0)．设M(x1，y1)，M在C2上，因为MF2?20．解：（Ⅰ）由C2：y?4x知F2(1 17
得x1?226，y1?．M在C1上，且椭圆C1的半焦距c?1，于是 338?4??1，1?22422a?2a?b9a?37a?4?0消去并整理得，解得（不合题意，舍去）． 9a3b?3?b2?a2?1.?x2y2??1． 故椭圆C1的方程为43???????????????O， （Ⅱ）由MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点1?MF2?MN知四边形MF26因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，故l的斜率k?3?6．
2322??3x?4y?12，设l的方程为y?6(x?m)．由?消去y并化简得
??y?6(x?m)，16m8m2?49x?16mx?8m?4?0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1?x2?，x1x2?．
9922????????因为OA?OB，所以x1x2?y1y2?0．x1x2?y1y2?x1x2?6(x1?m)(x2?m)
?7x1x2?6m(x1?x2)?6m2=
所以m??2．此时??(16m)?4?9(8m?4)?0，
221?(14m2?28)?0． 9故所求直线l的方程为y?6x?23，或y?6x?23． 21．解：（Ⅰ）f?(x)?a?1，
(x?b)21?9?2a??1，a?，??a?1，?12?b??4于是?解得?或?因a，b?Z，故f(x)?x?．
1x?1?b??1，?b??8.?a??0，2??3??(2?b)（Ⅱ）证明：已知函数y1?x，y2?所以函数g(x)?x?1都是奇函数． x11?1．也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)?x?1?
xx?1，为，平移，可知，函数g(x)的图像按向量a?(11)即得到函数f(x)的图像，故函数f(x)的图像是以点(11)中心的中心对称图形．
18
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点?x0，x0???11??．由知，过此点的切线方程为 f(x)?1??0(x0?1)2x0?1?2?x0?1?x0?1x0?x0?1?1?x?1x?1．令得，切线与直线交点为y?y???1?(x?x)?1，?． 02?x0?1x0?1?x0?1??(x0?1)?，．令y?x得y?2x0?1，切线与直线y?x交点为(2x0?1直线x?1与直线y?x的交点为(11) ，2x0?1)．
从而所围三角形的面积为
1x0?112?12x0?1?1?2x0?2?2．
2x0?12x0?1所以，所围三角形的面积为定值2．
22．解：（Ⅰ）证明：因为MA是圆O的切线，所以OA?AM． 又因为AP?OM．在Rt△OAM中，由射影定理知，
（Ⅱ）证明：因为BK是圆O的切线，BN?OK．同（Ⅰ），有所以
，即
．
，又OB?OA，
ONOM?．又∠NOP?∠MOK， OPOK?所以△ONP∽△OMK，故∠OKM?∠OPN?90．
2223．解：（Ⅰ）C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x?y?1，圆心C1(0，0)，半径r?1．
C2的普通方程为x?y?2?0．因为圆心C1到直线x?y?2?0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点．（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
?x?cos?，??x???C1?：?（?为参数）； C2?：?1y?sin???y??2??222t?2，2（t为参数）． 2t412x?， 22化为普通方程为：C1?：x?4y?1，C2?：y?2联立消元得2x?22x?1?0，其判别式??(22)2?4?2?1?0，
所以压缩后的直线C2?与椭圆C1?仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．
?4， x≤4，?24．解：（Ⅰ）f(x)???2x?12， 4?x≤8，
??4 x?8.?图像如下：
19
y 4 2 1 -2 -1 O1 2 3 4 -2 8 x -4 （Ⅱ）不等式x?8?x?4?2，即f(x)?2，由?2x?12?2得x?5．
5) 由函数f(x)图像可知，原不等式的解集为(?∞，
2009年普通高等学校招生考试新课标理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A＝{1,3,5,7,9},B＝{0,3,6,9,12},则A∩
B等于( )
A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3} 2.复数
3?2i3?2i?等于 ……( ) 2?3i2?3iA.0 B.2 C.－2i D.2i
3.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i＝1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i＝1,2,…,10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
图1 图2
A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关
20