(2)从d向c看，对cd杆进行受力分析如图所示，当cd速度最大时，有
BLv
Ff＝mg＝μFN，FN＝F安，F安＝BIL，I＝(4分)
R1＋R2
综合以上各式，解得v＝2 m/s.(1分) (3)整个过程中，ab杆发生的位移
v222x＝＝ m＝0.2 m(1分) 2a2×10
1
对ab杆应用动能定理，有WF－μmgx－W安＝mv2(2分)
2
代入数据解得W安＝0.2 J(1分) 根据功能关系Q总＝W安(1分)
R1所以ab杆上产生的热量Qab＝Q总＝0.12 J．(1分)
R1＋R2
[答案] (1)10 m/s2 (2)2 m/s (3)0.12 J
[总结提升] 分析“双杆模型”问题时，要注意双杆之间的制约关系，即“动”杆与“被动”杆之间的关系，需要注意的是，最终两杆的收尾状态的确定是分析该类问题的关键．
3．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，通过电阻R的电荷量； (3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
一 高考题组 1.
(单选)(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L )的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动．t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图象中，可能正确描述上述过程的是( )
2．(单选)(2013·高考安徽卷)如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN垂直于导轨放置，质量为0.2 kg，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T．将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)( )
A．2.5 m/s 1 W B．5 m/s 1 W C．7.5 m/s 9 W D．15 m/s 9 W
3．(多选)(2012·高考山东卷)如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B.将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P，导体棒最终以2v的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g.下列选项正确的是( )
A．P＝2mgvsin θ B．P＝3mgvsin θ
vg
C．当导体棒速度达到时加速度大小为sin θ
22
D．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力所做的功
二 模拟题组 4．(单选)(2014·泰安模拟)如图所示，间距为L，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m、电阻也为R的金属棒，金属棒与导轨接触良好．整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v0沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q.下列说法正确的是( )
A．金属棒在导轨上做匀减速运动
mv20
B．整个过程中电阻R上产生的焦耳热为
2
qR
C．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为 BL2mv0D．整个过程中金属棒克服安培力做功为
2
5．(2014·宁波模拟)如图所示，两平行导轨间距L＝0.1 m，足够长光滑的倾斜部分和粗糙的水平部分圆滑连接，倾斜部分与水平面的夹角θ＝30°，垂直斜面方向向上的磁场的磁感应强度B＝0.5 T，水平部分没有磁场．金属棒ab质量m＝0.005 kg、电阻r＝0.02 Ω，运动中与导轨有良好接触，并且垂直于导轨，电阻R＝0.08 Ω，其余电阻不计，当金属棒从斜面上离地高h＝1.0 m以上任何地方由静止释放后，在水平面上滑行的最大距离x都是1.25 m．(取g＝10 m/s2)求：
(1)棒在斜面上的最大速度为多少？ (2)水平面的动摩擦因数？
(3)从高度h＝1.0 m处滑下后电阻R上产生的热量？ 温馨提示 日积月累，提高自我 请做课后达标检测29
“微讲座”(九)——电磁感应中的含容电路分析
一、电磁感应回路中只有电容器元件
这类问题的特点是电容器两端电压等于感应电动势，充电电流等于感应电流．
(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，
间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．
[解析] (1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E＝BLv① 平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有
QC＝③
U
联立①②③式得Q＝CBLv.④
(2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i.金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为F安＝BLi⑤
ΔQ
设在时间间隔(t，t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ，据定义有i＝⑥
Δt
ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔(t，t＋Δt)内增加的电荷量．由④式得：ΔQ＝CBLΔv⑦
Δv
式中，Δv为金属棒的速度变化量．据定义有a＝⑧
Δt
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为Ff＝μFN⑨
式中，FN是金属棒对导轨的正压力的大小，有FN＝mgcos θ⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mgsin θ－F安－Ff＝ma?
m?sin θ－μcos θ?
联立⑤至?式得a＝g?
m＋B2L2C
由?式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动．t时刻金属棒的速度大小为vm?sin θ－μcos θ?＝gt.
m＋B2L2C
m?sin θ－μcos θ?
[答案] (1)Q＝CBLv (2)v＝gt
m＋B2L2C
ΔQCΔE
[总结提升] (1)电容器的充电电流用I＝＝表示．
ΔtΔt
(2)由本例可以看出：导体棒在恒定外力作用下，产生的电动势均匀增大，电流不变，所受安培阻力不变，导体棒做匀加速直线运动．
二、电磁感应回路中电容器与电阻并联问题
这一类问题的特点是电容器两端的电压等于与之并联的电阻两端的电压，充电过程中的电流只是感应电流的一支流．稳定后，充电电流为零．
(2012·高考广东卷)如图所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光
滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d的平行金属板，R和Rx分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．
(1)调节Rx＝R，释放导体棒，当导体棒沿导轨匀速下滑时，求通过导体棒的电流I及导体棒的速率v.
(2)改变Rx，待导体棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx.
[解析] (1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示． 导体棒所受安培力F安＝BIl①
导体棒匀速下滑，所以F安＝Mgsin θ②
Mgsin θ
联立①②式，解得I＝③
Bl
导体棒切割磁感线产生感应电动势E＝Blv④
E
由闭合电路欧姆定律得I＝，且Rx＝R，所以
R＋Rx
EI＝⑤ 2R
2MgRsin θ
联立③④⑤式，解得v＝. B2l2(2)由题意知，其等效电路图如图所示．
由图知，平行金属板两板间的电压等于Rx两端的电压．
设两金属板间的电压为U，因为导体棒匀速下滑时的电流仍为I，所以由欧姆定律知 U＝IRx⑥
U
要使带电的微粒匀速通过，则mg＝q⑦
d
mBld
联立③⑥⑦式，解得Rx＝.
Mqsin θ
Mgsin θ2MgRsin θmBld
[答案] (1) (2) 22BlBlMqsin θ
[总结提升] 在这类问题中，导体棒在恒定外力作用下做变加速运动，最后做匀速运动． 1.
(多选)如图，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则( )