第一章
矢量分析
第一章 题 解
1-1
已知三个矢量分别为
A?ex?2ey?3ez；
B?3ex?ey?2ez；C?2ex?ez。试求①|A|, |B|, |C|；②单位矢量ea, eb, ec；③A?B；④A?B；⑤(A?B)?C及
(A?C)?B；⑥(A?C)?B及(A?B)?C。
解 ① A?22Ax?Ay?Az2?12?22???3??14
222B?Bx?By?Bz2?32?12?22?14
22C?Cx?Cy?Cz2?22?02???1??5
2② ea?AA1?ex?2ey?3ez? ??A1414BB1?3ex?ey?2ez? ??B1414CC1?2ex?ez? ??C55eb?ec?③ A?B?AxBx?AyBy?AzBz?3?2?6??1
exeyAyByexezBzey0ex3ez?1ey21ez?3?7ex?11ey?5ez 2④ A?B?AxBxAz?1⑤ ?A?B??C?72ex?11?5?11ex?3ey?22ez
exAyCyexCzex2ey20ez?3??2ex?5ey?4ez ?1因
A?C?AxCxAz?1 1
则
?A?C??B??23exey1ez2?5?4??6ex?8ey?13ez
⑥ ?A?C??B???2??3???5??1?13?2?15
?A?B??C?7?2?0???5????1??19。
1-2 已知z?0平面内的位置矢量A与X轴的夹角为?，位置矢量B与X轴的夹角为?，试证
cos(???)?cos?cos??sin?sin?
证明 由于两矢量位于z?0平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为
A?exAcos??eyAsin? B?exBcos??eyBsin?
已知A?B?ABco?s????，求得
cos??????ABcos?cos??ABsin?sin?AB
即 cos(???)?cos?cos??sin?sin?
1-3 已知空间三角形的顶点坐标为P1, ?2)，1(0, P2(4, 1, ?3)及P3(6, 2, 5)。试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？
解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为
P1?ey?2ez； P2?4ex?ey?3ez； 那么，由顶点P1指向P2的边矢量为
P3?6ex?2ey?5ez
P2?P1?4ex?ez
同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为
P3?P2?2ex?ey?8ez
P1?P3??6ex?ey?7ez
2
因两个边矢量(P2?P1)?(P3?P2)?0，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。
因
P2?P1?42?12?17 P3?P2?22?12?82?69，
所以三角形的面积为
S?1P2?P1P3?P2?0.51173 21-4 已知矢量A?exy?eyx，两点P1及P2的坐标位置分别为P1(2, 1, ?1)及P2(8, 2, ?1)。若取P1及P2之间的抛物线
x?2y或直线P1P2为积分路径，试求线积分
2? p1 p2A?dl。
解 ①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为x?2y2,
dx?4ydy，则
?P1P2A?dl???ydx?xdy???4y2dy?2y2dy??6y2dy?2y3??14P2P2P22P1P1??P11 ②积分路线为直线。因P1,P2两点位于z??1平面内，过P1,P2两点的直线方程为y?1?dx?6dy，则
2?1?x?2?，即6y?x?4，8?2?P1P2A?dl??6ydy??6y?4?dy?12y?4y2P2P1??12??14。
1-5 设标量??xy2?yz3，矢量A?2ex?2ey?ez，试求标量函数?在点(2, ?1, 1)处沿矢量A的方向上的方向导数。 解 已知梯度
???ex???????ey?ez?exy2?ey(2xy?z2)?ez3yz2 ?x?y?z那么，在点(2, ?1, 1)处? 的梯度为
???ex?3ey?3ez
3
因此，标量函数?在点(2, ?1, 1)处沿矢量A的方向上的方向导数为
???A??ex?3ey?3ez???2ex?2ey?ez??2?6?3??1
1-6 试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。 证明 式（1-5-11）为?????????????，该式左边为
??????ex??????ey??????ez????? ?x?y?z??????ex?????x??x????????e????y??y???y?????????e?????z??z?z?????????????????????????e?e?e??e?e?eyzyz?x?x??x?x? ?y?z?y?z????????????
即，
?????????????。
根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）
和式（1-5-13）。
??1-7 已知标量函数???sin2????x??sin3???y?e?z，试求该标量函?数? 在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。
解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数?的梯度为
???ex???????ey?ez ?x?y?z那么
???ex????????z????????z?cosx??siny?e?ey?sinx??cosy?e2?2??3?3?2??3?
???????ez?sinx??siny?e?z
2??3?? 4
将点P(1,2,3) 的坐标代入，得????P??ey那么，在P点的最大变化率为
????ey?6e?3?ez3?3e。2?6Pe?3?ez3?3e?3e??2?27 26P点最大变化率方向的方向余弦为
cos??0； cos??????272； cos???27??272
1-8 若标量函数为
??x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z
试求在P(1, ?2, 1)点处的梯度。 解 已知梯度???ex入得
???????ey?ez，将标量函数?代?x?y?z???ex?2x?y?3??ey?4y?x?2??ez?6z?6?
再将P点的坐标代入，求得标量函数? 在P点处的梯度为
????P?3ex?9ey
1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。
证明 式（1-6-11）为???CA??C??A，该式左边为
???CA????Ax?Ay?Az????CAx????CAy????CAz??C????C??A???x?y?z?y?z???x即
???CA??C??A
式（1-6-12）为????A?????A?A???，该式左边为
????A?????Ax?????Ay?????Az? ?x?y?z?Ax?Ay?A?A????????x?Ay???Az??z ?x?x?y?y?z?z 5