x?rcos?，y?rsin?，z?z
因此，该点在直角坐标下的位置为
?2???2??x?4cos????2; y?4sin???23;
?3??3?z = 3
同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，
x2?y2yr?x?y?z；??arctan；??arctan
xz222可得该点在球坐标下的位置为
r?5； ??arctan4?53?； 3??120?
1-20 已知直角坐标系中的矢量A?aex?bey?cez，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解 由于A的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
r?求得
y； z?z xbr?a2?b2；??arctan； z?c
ax2?y2；??arctansin??ba?b22；cos??aa?b22
又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
?Ar??cos?????A?????sin??A???z??0sin?cos?00??Ax???0???Ay?
?1????Az?将上述结果代入，求得
11
a??22?Ar??a?bb???A??????22a?b?A???z?0???ba2?b2aa2?b20?0?a2?b2???a???????0?b???0? ?????cc?????1?????即该矢量在圆柱坐标下的表达式为
A?era2?b2?ezc
直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为
?x2?y2?r?x?y?z；??arctan?z?222??y??；??arctan?? ??x??由此求得
?a2?b2?r?a?b?c；??arctan?c?222??b??；??arctan??
??a??矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
?Ar??sin?cos?????A????cos?cos??A???????sin?sin?sin?cos?sin?cos?cos???Ax????sin????Ay?
?0????Az?求得
?Ar??sin?cos?????A????cos?cos??A???????sin?sin?sin?cos?sin?cos?cos???a??a2?b2?c2???b????sin??0? ??????0?0???c??????即该矢量在球坐标下的表达式为
A?era2?b2?c2。
1-21 已知圆柱坐标系中的矢量A?aer?be??cez，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求??A及??A以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。 解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er和e?均为变矢，所以A不是常矢量。
12
已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为
??A??A1??rAr??1???Az r?rr???z??A?1??ar??0?0?a r?rr将A?aer?be??cez代入，得 矢量A的旋度为
err???A??rAre????rA?erezrr????z?rAzae????rbezr?b?ez ?zrc已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
x?rcos?;
y?rsin?;
z?z yx2?y2?y acos??xx2?y2?x; sin??a又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
?Ax??cos?????Ay???sin??A???z??0?sin?cos?00??Ar???0???A??
?1????Az?将上述接结果代入，得
?x?Ax??a???y?Ay???a?A??0?z????y?axa0?b??0??x?ay?a?????b???y?x? 0??ba?????1???c???c?????????即该矢量在直角坐标下的表达式为
b?A??x?a?b???y?ex??y?x?ey?cez，其中x2?y2?a2。
a???矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
13
?Ar??sin?????A????cos??A??????0cos???Ar???0?sin????A??
?10????Az?0??以及sinac，cos??，求得 rrc??a?a2?c2?0?Ar??rr??a??r??r????a???????c?A????r0?r??b???0???0?
??b??A???010????b??????c????????????即该矢量在球坐标下的表达式为A?rer?be?。
1-22 已知圆球坐标系中矢量A?aer?be??ce?，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求??A及??A，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。
解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er，e?，e?均为变矢，所以A不是常矢量。
在球坐标系中，矢量A的散度为
??A?1?21?1??rA?sin?A?r?r2?rrsin???rsin?????A????????? ?将矢量A的各个分量代入，求得??A?矢量A的旋度为
2ab?cot?。 rrerr2sin????A??rAre?rsin????rA?e?r? ??rsin?A?err2sin????rae?rsin????rbe?r?b?e? ??rrsin?c 14
利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
?Ax??sin?cos?????Ay???sin?sin??A???z??cos?cos?cos?cos?sin??sin??sin???Ar???cos????A??
?0????A??2222?x?x?yx?y??2??sin???cos2222ax?y?x?y?z?以及?，?，求得
yzz?cos???sin???22?222?ax?yx?y?z??该矢量在直角坐标下的表达式为
?bxzA??x??22?ax?y?22??bx?y?e ??z???za????byz?e??y??x22?22?x?y?ax?y?cy??ey22?x?y?cx
利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
?Ar??sin?????A????0?A???z??cos?cos?0?sin??r0??Ar?????a?1??A???0?z??0???A?????aza0r?a?b??0??a??r?az????c? 1??b???????0???c???z?br????a?求得其在圆柱坐标下的表达式为
b?b???A??r?z?er?ce???z?r?ez。
a?a???1-23 若标量函数?1(x,y,z)?xy2z，?2(x,?,z)?rzsin?，
?3(r,?,?)?2sin?，试求?2?1，?2?2及?2?3。 2r?2?1?2?1?2?1解 ??1??2?2?0?2xz?0?2xz 2?x?y?z 15