解 根据叠加原理，P点的合成电位为
q ? P 1cm r1cm 习题图2-4
1cm q ? ??2??6q4??0r?2.5?106?V?
因此，将电量为2?10C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力必须做的功为W??q?5?J?
2-5 通过电位计算有限长线电荷 的电场强度。
解 建立圆柱坐标系。 令先电
荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强与?无关。为了简单起见，令场点位于yz平面。
设线电荷的长度为L，密度为
z ?2 zdl l o rr 0P y
?l，线电荷的中点位于坐标原
点，场点P的坐标为?r,?1 ???,z?。 2??习题图2-5
利用电位叠加原理，求得场点
P的电位为
???l4??0
?L2L?2dl r021
式中r0??z?l?2?r2。故
L????l4??ln?z?l?z?l?2?r2?20??????L22z?L???L?
??l?z????r2224??ln02z?L????z?L????r222因E????，可知电场强度的z分量为
2E??z?L????z?L????r222z?????z??l4???zln02z?L????z?L????r222???????l?4???11??0????z?L?2??r2?z?L?2?r2? ???2????2????????????l?4???11?0r???1??z?L2?2??z?L2?2? ???r??1???r???????l?????rr?4??r??0?r2??z?L2?2r2??z?L2?2? ???l4???sin?2?sin?1? 0r电场强度的r分量为
2z?L???E???z?L????r222r???r???l?4??ln0?r2
z?L????z?L????r222 22
??l????4??0???r?z?L2?2?r?z?L2??r2??z?L2?2?r???2?
2?z?L2?2?r2??z?L2??z?L2????? ?r2??????????l?1???
2?2?4??0r???z?L2??z?L2?z?L2??1??1????????r??r?r????????1? ?2?2??z?L2??z?L2?z?L2???1???1??????r?r??r?????????l?1???4??0r?1?11?1??1??22?tan?1?tan?tan?11?????1? ?1?11????1??1?2?tan?tan2?2?tan?2?2????????
???l??1?cos?1???1?cos?2?? 4??0r??l?cos?1?cos?2? 4??0rrLz?2, ?2?arctanrLz?2，那么，合成电强为
式中?1?arctan 23
E??l??sin?2?sin?1?ez??cos?2?cos?1?er? 4??0r当L??时，?1?0, ?2 ??，则合成电场强度为
E??ler 2??0r可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。
2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度
?l??0sin?, 0????，试求圆心处的电场强度。
y
E
习题图2-6
o dl? a x 解 建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷?ldl在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的Ey分量，即
dE?dEy?考虑到dl?ad?,?l??ldlsin?
4??0a2?0sin?，代入上式求得合成电场强度为
?E?ey?0?0?sin2?d??0ey 4??0a8?0a2-7 已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为?l，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。
24
x z P r o a y
习题图2-7
解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷?ldl在z轴上P点产生的电位为
???ldl 4??0r根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为
??z??14??0?2?a?lr0dl??l2?a?ladl? ?0224??0r2?0a?z因电场强度E????，则圆环线电荷在P点产生的电场强度为
E??ez?laz???z??ez?z2?0a2?z2??32
2-8 设宽度为W，面密度为?S的带状电荷位于真空中， 试求空间任一点的电场强度。
(a)
z dx??w? 2y
w 2y
r P(x,y) x o x x? dx? w 2w2(b)
习题图2-8
25