1????2?1??2?2??2?2????2? ?r???2?2r?r??r?r2????z??2?21??rzsin???12??rzsin???0 r?rr??3?1??2??3?1??1??3?2?r??2?sin???22r?r??r?rsin???????rsin???2?3?????2???? ?1??2?2sin??1??sin?cos??r??????0 r2?r?r3?r2sin????r2?2sin?cos2??sin2?1???
r4r4sin?r4sin?1-24 若
A(x,y,z)?xy2z3ex?x3zey?x2y2ez A(r,?,z)?err2cos??ezr3sin?
A(r,?,?)?errsin??e?11sin??e?2cos? rr试求??A，??A及?2A。 解 ①??A??Ax?Ay?Az???y2z3?0?0?y2z3； ?x?y?zey??yAyezex????z?xAzxy2z3ey??yx3zez? ?zx2y2ex???A??xAx?2x2y?x3ex?3xy2z2?2xy2ey?3x2z?2xyz3ez； ?2A?ex?2Ax?ey?2Ay?ez?2Az
?2xz3?6xy2zex?6xzey?2y2?2x2ez；
1?1?A??Az1?3?rcos???0?3rcos? ?② ??A??rAr???r?rr?rr???z?????????? 16
err???A??rAre????rA?ezerrr????z?rAzr2cos?e????0ezr? ?zr2sin?er2ercos??e???2rsin???zr2sin? rr?errcos??2e?rsin??ezrsin??????A?2?Ar??2?2Ar2?A??2????2A?er??A???e?A???e?Azr??z2222????rr???rr?????
?2ercos??2e?sin??3ezsin?；
（此处利用了习题26中的公式） ③ ??A?1?21?1??rA?sin?A?r?r2?rrsin???rsin?????A????????? ??1?31??12rsin??rsin??0 2r?rrsin???2cos??3sin??；
r2????err2sin????A??rAre?rsin????rA?errr2sin???????rrsin?A?rsin?e?e?rsin????sin?e?r????1rsin?cos?
?sin???2cos???sin???er??3??e???e??cos???? ?32?r??r??r???ersin?2cos?sin???； ?e?ecos?????332?rrr???A???22??sin?A???22?2A?er??2Ar?2Ar?2? rrsin???rsin??????A2?A2cos??A???e???2A??2?2?2r?22? rsin?r??rsin????? 17
A??2?Ar2cos??A???e???2A??22?2?22? rsin?rsin???rsin?????将矢量A的各个坐标分量代入上式，求得
cos??cos2?4cos???2cos?2sin?? ?2A?er???e??e??3342???r?r?rsin??rsin??rcos2?, 1?r?2，试求? ??AdV，式中1-25 若矢量A?er3 VrV为A所在的区域。
解 在球坐标系中，dV?r2sin?drd?d?，
1?21??sin?A???1??A?2rAr?r?rrsin???rsin?????A????????? ?将矢量A的坐标分量代入，求得
22??2cos??cos2??2????AdV??dV??d?d?rsin?dr44?V?V?????001r?r?
???d??0 S2??02?cos2?sin?d????cos2?d????
021-26 试求
?(er3sin?)?dS，式中S为球心位于原点，半径
为5的球面。
解 利用高斯定理，?A?dS????AdV，则
SV?A?dS????AdV??d??d??SV002??506sin?2rsin?dr?75?2 r第二章 静电场
2-1 若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷q?位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q?的大小及位置。 解 要使系统处于平衡状态，点电荷q?受到点电荷q1及q2的力应该大小相等，方向相反，即Fq1q??Fq2q?。那么，由
q1q?4??0r12?q2q?4??0r22?r2?2r1，
18
同时考虑到r1?r2?d，求得
12r1?d, r2?d
33可见点电荷q?可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电荷q1相距
2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：
1d。 3z q1 q2E3 E1 x E2 习题图2-2 Pq3 q1?1C, P1(0,0,1) q2?1C, P2(1,0,1) q3?4C, P3(0,1,0)试求位于P(0,?1,0)点的电场强度。
解 令r1,r2,r3分别为三个电电荷的位置P1,P2,P3到P点的距离，则
r1?2，r2?3，r3?2。
利用点电荷的场强公式E?q4??0r2er，其中er为点电荷q指向场点
P的单位矢量。那么，
q1在P点的场强大小为E1?12q14??0r12?18??0，方向为
er1???ey?ez?。
q2在P点的场强大小为E2?13q24??0r22?1，方向为
12??0er2???ex?ey?ez?。
q3在P点的场强大小为E3?则P点的合成电场强度为
q34??0r32?14??0，方向为er3??ey
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E?E1?E2?E3 ??
2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。
解 令点电荷?q位于坐标原点，r为点电荷?q至场点P的距离。再令点电荷?q位于+z坐标轴上，r1为点电荷?q至场点P的距离。两个点电荷相距为l，场点P的坐标为（r,?,?）。
根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为
?1?11?111?1??
e?????e????ez??xy??????0?123?821234??82123??E?q?rr1?? ?3?3??4??0?rr1?考虑到r >> l，er1= er，r1?r?lcos?，那么上式变为
q?r12?r2?q??E?e?22?r4??0?4??0rr1??式中
?(r1?r)(r1?r)???er 22??rr1??2?12r1?r?l?2rlcos?2?1?22??12?1?ll???1??2cos?2??r?rr??12
以
?l?ll?为变量，并将?1??2cos??r2?在零点作泰勒展开。由于rr??l??r，略去高阶项后，得
1?l?1l?1r1??1?cos????2cos?
r?r?rr利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为
E??
q??1lqlsin???1??qlcos???cos????e?e ????r??233θ4??0??rr4??0r??r??2??0r2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为2?10?6C，相距为2cm， 如习题图2-4所示。试求：①P点的电位；②将电量为2?10?6C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。
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