解 建立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为dx?的无限长线电荷，其线密度为?sdx?。那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关，即
dE?r??sdx?er
2??0r式中
?x?x??2?y2
x?x?y1?ey?ex?x?x???eyy rrrer?ex得
??dE?2??0?x?x???y2??sdx?2??e?x?x???ey?
xy那么
E??w2w?222??0?x?x???y2??sdx?2??e?x?x???ey?
xyw??2x????y??s???s2??exln?ey24??0?2??0w?2?x???y2??
ww??x?x???22?arctan? ?arctanyy??????2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度 为?S，位于z = 0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘 轴线上任一点电场强度E。
z P(0,0,z) o y
dr x 习题图2-9
26
r
解 如图 2-9所示，在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的圆环，该圆环具有的电荷量为dq?2?rdr?s。由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的r有z分量。根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的电场强度的z分量为
dEz?zr?sdr2?0r?z?2232?
那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为
E?ez?s2?0??z0azrdr2?r2?32?ez?s2?0?z???z??? ?z2?a2?z2-10 已知电荷密度为?S及??S的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面，试求x?1, 0?x?1及x?0区域中的电场强度。
解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷?S，在x < 0区域中产生的电场强度E1???exE1，在x > 0区域中产生的电场强度E1??exE1。位于x = 1平面内的无限大面电荷??S，在x < 1区域中
?产生的电场强度E2?exE2，在x > 1区域中产生的电场强度?E2??exE2。
由电场强度法向边界条件获知，
?0E1???0E1???s即
x?0x?0
???0E2??0E2???sx?0
?0E1??0E1??s
??0E2??0E2???sx?1由此求得
E1?E2??s 2?0根据叠加定理，各区域中的电场强度应为
?E?E1??E2??exE1?exE2?0, x?0
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E?E??E?12?exEs1?exE2???, 0?x?1 0E?E??1?E2?exE1?exE2?0, x?1
2-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为
?试求0?r?a, a?r?b及r?b区域中的电通密度D。 解 作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知
?D?ds?q?D?qs4?r2er 式中q为闭合面S包围的电荷。那么
在0?r?a区域中，由于q = 0，因此D = 0。 在a?r?b区域中，闭合面S包围的电荷量为
q??v?dv?10?6?43??r3?a3?
?6?3因此，
10r?a3D??3r2er 在r?b区域中，闭合面S包围的电荷量为
q???dv?10?64v?3??b3?a3?
?6因此，
10?b3?a3D??3r2er 2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为
?q,
E?e??r2r?ar?
?qr??a, r?a试求球内外各点的电位。 解 在r?a区域中，电位为
??r????E?dr??aE?dr?qrr??aE?dr?2a?a2?r2??qa在r?a区域中，??r????rE?dr?qr
28
2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为
?r3, r?a?5 E?er?a?2, r?a?r试求空间的电荷密度。
解 利用高斯定理的微分形式??E??，得知在球坐标系中 ?01d2rEr
r2dr??r???0??E??0那么，在r?a区域中电荷密度为
????r???0在r?a区域中电荷密度为
1d52r?5?r 02rdr????r???01d5a?0
r2dr??2-14 已知真空中的电荷分布函数为
2??r, 0?r?a?(r)??
??0, r?a式中r为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。
解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理
?E?ds?sq?0?E4?r2?q?0
在0?r?a区域中
4q????r?dv??4?r2r2dr??r5
v05r1451r3E?er?r?er 2?05?04?r5在r?a区域中
4q????r?dv??4?r2r2dr??a5
v05a1451a5E?er?a?2er 2?05r?04?r52-15 已知空间电场强度E?3ex?4ey?5ez，试求（0,0,0）与（1,1,2）两
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点间的电位差。
解 设P1点的坐标为（0,0,0,）, P2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的电位差为
V??E?dl
P1P2式中
E?3ex?4ey?5ez, dl?exdx?eydy?ezdz，因此电位差为 V???1,1,2??0,0,0??3dx?4dy?5dz???3?V?
2-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b。若填充介质的相对介电常数?r?2。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导体半径之比。
解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为q1，则同轴线内电场强度
E?q12??rer。为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电
位差V不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面r?a处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为
C1?q12??2????q1?V V?b??b?ln??ln???a??a?则同轴线内导体表面r?a处电场强度为
bVVaE(a)??
bbb????aln??ln???a??a?bb为变量，对上式求极值，获知当比值?e时，E?a?aa令b不变，以比值
取得最小值，即同轴线获得最高耐压。
2-17 若在一个电荷密度为?，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。
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