【典例精析】
例1 选用合适的方法解下列方程：
（1）(x?4)2?5(x?4)； （2）(x?1)2?4x； （3）(x?3)2?(1?2x)2； （4）2x?10x?3.
2（m?1）x2?7mx?m2?3m?4?0有一个根为零，求m的值. 例2 已知一元二次方程
例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝
2
的矩形呢？为什么？
【中考演练】
1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是_________. 2．已知2是关于x的方程
32
x－2 a＝0的一个解，则2a－1的值是_________. 2223．关于y的方程2y?3py?2p?0有一个根是y?2，则关于x的方程x?3?p的解为_____.
4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
y2①9 x=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0
32
⑤ 2( x2+1)=10 ⑥
4-x-1=0 x2A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
5. 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后a,b,c的值为（ ）
A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4
6．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
7．解方程
22
(1) x－5x－6＝0 ； (2) 3x－4x－1＝0（用公式法）；
(3) 4x－8x＋1＝0（用配方法）； （4）x?22x+1=0．
2
2
8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，
求月增长率．
﹡课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【课前热身】
1．一元二次方程x?2x?1?0的根的情况为（ ）
Ａ．有两个相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根
Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｄ．没有实数根
22. 若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 . 3．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则
11?? ，.x12＋x22＝ . x1x24．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根互为倒数； 当m＝ 时，两根互为相反数.
5．若x1 =3?2是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方程的另一个根x2 = .
【考点链接】
1. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根的判别式为 . 22（1）b?4ac>0?一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?有两个 实数根，即
2x1,2? . （2）b?4ac=0?一元二次方程有 相等的实数根，即x1?x2? . 2（3）b?4ac<0?一元二次方程ax?bx?c?0?a?0? 实数根.
222． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两根分别为x1，x2，那么x1?x2? ，
2x1?x2? .
3．易错知识辨析：
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制
条件.
（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
① 根的判别式b?4ac?0；
2② 二次项系数a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
【典例精析】
例1 当k为何值时，方程x?6x?k?1?0，
（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.
例2 下列命题：
① 若a?b?c?0，则b?4ac?0；
② 若b?a?c，则一元二次方程ax?bx?c?0有两个不相等的实数根； ③ 若b?2a?3c，则一元二次方程ax?bx?c?0有两个不相等的实数根； ④ 若b?4ac?0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）
Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．
例3 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x?7x?12?0 的一个根，则菱形ABCD的周长
为 .
【中考演练】
1．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________， ＝__________，(x1－x2)2＝_______.
2．当c?__________时，关于x的方程2x?8x?c?0有实数根．（填一个符合要求的数即可）
23. 已知关于x的方程x?(a?2)x?a?2b?0的判别式等于0，且x?222222211?x1x21是方程的根，则a?b的值222为 ．
24. 已知a，b是关于x的方程x?(2k?1)x?k(k?1)?0的两个实数根，则a?b的最小值是 ．
5．已知?，?是关于x的一元二次方程x2?(2m?3)x?m2?0的两个不相等的实数根，且满足
1??1???1，则m的值是（ ）
Ｂ．3
Ｃ．1
Ｄ．?3或1
Ａ．3或?1
6．一元二次方程x2?3x?1?0的两个根分别是x1，x2，则x12x2?x1x22的值是（ ） Ａ．3
Ｂ．?3
2.
1Ｃ．
3
1Ｄ．?
37．若关于x的一元二次方程x?2x?m?0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m
9．已知关于x的一元二次方程x??m?1?x?m?2?0．
22
x1x217??, x2x14（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若方程的两实数根之积等于m?9m?2，求m?6的值．
2