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因为小波具有自适应的时频局部化功能，利用小波对突变信号和非平稳信号能较好的进行去噪。 2.3 去噪性能的评价 2.3.1 主观评价
主观评价?8?只能对图像去噪进行定性的评价，通常可从以下两方面进行评价： （1）观察噪声平滑的效果。主要可通过观察图像中灰度平坦区、缓变区等地方来获得评价印象。（2）观察图像细节信息的的保护效果。 2.3.2 客观评价
常用的图像质量客观评价标准有：信噪比、信噪比增益、均方根误差和峰值信噪比。
(1)信噪比( SNR )
信噪比是测量信号中的噪声量的传统方法，常被用来作为信号去噪性能好坏的评价标准。国际上信噪比的单位是分贝(dB)，信噪比通常定义为：
SNR?10log?Ps??? (2-8) 10???Pn?1n其中，Ps??Fn2(n)表示原始信号的功率， Pn??1[F(n)?F?n?]?nn?2表示原始信号
中混杂噪声的功率，F (n)表示原始信号，F?n?表示去噪以后的估计信号，通过信噪比的定义可以知道，一个混有白噪声的信号经过不同的方法去噪以后，信噪比越大，说明这种方法的去噪效果越好。 （2)信噪比增益
记信噪比增益为 A，则信噪比增益定义为：
A?SNRSNRF1F0 （2-9）
其中，SNRF表示信号去噪以后的信噪比，SNRF表示信号去噪以前的信噪比，通
10过信噪比增益的定义我们知道：去噪以后，信噪比增益越大，说明这种方法的去噪效果越好。
(3)均方误差( MSE ) 均方误差定义为：
MSE?1MNN2?n?1???F?n??F?n????? （2-10）
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其中，F(n)表示原始信号，F?n?表示去噪以后的估计信号。式中，M 、N 分别对应图像的列数和行数。 (4)峰值信噪比( PSNR ) 峰值信噪比的定义为：
PSNR?10lg??fmax?fmin?2 （2-11）
MSE其中，fmax、fmin分别对应图像灰度的最大值和最小值（通常取255和0）。MSE 定义与上面一致，可以看出：去噪以后，峰值信噪比越大，说明这种方法的去噪效果越好。在实际应用中，峰值信噪比(PSNR)是图像处理中最常用的图像质量评价的客观标准，峰值信噪比越大，说明去噪效果越好。
由于人眼视觉特性的准确模型还没有完全建立，因此主观评价标准还只是一个定性的描述方法，但它能反映人眼的视觉特性。客观评价方法能够对去噪效果给出定量的描述，是一种数学上统计的处理方法，其缺点是它并不总能反映人眼的真实感觉，一种折中的方法是在衡量图像去噪算法的优劣时将主观与客观两种标准结合起来。
本章主要介绍空间域滤波去噪的几种经典算法，对其中的均值滤波去噪做了改进，并做了MATLAB仿真对比。引出了小波去噪方法以及去噪性能评价标准，为后续小波去噪的分析做了准备。
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3 小波理论及其在图像处理中的应用
3.1 小波函数
小波是在—个局部区域内波动的函数，小区域的波，是一特殊的长度有限、平均值为0的波形。小波分析的核心思想是按照尺度分析来分析信号：将小波收缩和平移，然后研究信号和小波之间的相关性。信号伸展后(大尺度)与小波的相关性体现的是信号的粗略特征，信号收缩后(小尺度)与小波的相关性体现的是信号的细节特征，因此小波有“数学显微镜\的美誉。
设x为—个实变量，若函数????是波动函数，即?????d??0，且????是紧
???支撑的(即只在—个局部区域内有定义，在这个区域外趋于零)，????为一平方可积
2函数，即?????L(R)，若其傅立叶变换??w?满足容许性条件：
?2?C???|?(w)||w|Rdw?? （3-1）
则函数????称为母小波或基小波。 3.2 连续小波变换
根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点；另一方面，根据可容许性条件可知 ?(w)|w?0?0，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的“波动性”。 将基小波进行收缩和平移得小波基函数：
?a,b(t)?1at?ba??() （3-2）
其中，a≠0，称作尺度因子，b 称作平移因子，函数 f?t?在 L2(R)上的连续小波变为：
??_______________Wf(a,b)?|a|?1/2???f(t)?(t?ba)dt （3-3）
若a>1，?a,b?t?具有伸展作用，a<1函数则具有收缩作用。式中不但t是连续变量，而且a和b也是连续变量，因此成为连续小波变换。
写成内积的形式为：
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??___________?f,?a,b??|a|?1/2???f(t)?(????t?ba)dt （3-4）
t?ba 逆变换为：f(t)?1C???????a1Wf(a,b)?(2（3-5） )dadb
其不难发现，小波变换实际是将函数f?t?同一个活动的带通滤波器进行滤波，区别于窗口傅立叶变换的是，时间局部区域和频率局部区域不再是固定不变的，而是随着参数a和b 的变化而变化。根据a和b 的不同，可得小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号f?t?的局部化分析。 小波变换的基本性质有:
(1)线性。设Wf?a,b?为f1?t?的小波变换，则有
1（3-6） f?t???f1?t???f2?t? Wf?a,b???Wf1?a,b???Wf2?a,b? (2)平移和伸缩的共变性。 若f?t??Wf?a,b?，则f?a0,t??1a0（3-7） Wf?a0a,a0b?
??__________???a,b?t?dt （3-8） ????????n?f?t?????nn?????1??f?t??nW?a.b?(3)微分运算。??tn???t?????除了上述性质，还有能量守恒性，空间-尺度局部化等特性。 3.3 离散小波变换
在实际应用中，为满足实际计算的需要，常常要使用离散形式的小波变换，也就是将函数f???的积分形式展开为级数和的形式。离散小波?9?是通过把小波函数
?a,b 中的参数a和b离散化得到的，其离散化形式为：
a?a0,b?kb0a0,j,k?Z,a0?1 （3-9）
jj对应的离散小波函数 ?j,k?t??a?j/20?(t?ka0b0a0jj)?a0?j/2??a0t?kb0? （3-10）
?j??离散化小波变换系数可以表示为：Cj,k?????j,k???f(t)?*j,k(t)dt,?j,k ?0 （3-11）
公式为:f(t)?C??Cj,k?????(t) (3-12)
其重构其中，C 是一个与信号无关的常数。
为了使小波变换具有可变的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳特
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性，需要改变a和b 的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能，这就需要把频率划分为邻接的频带(或倍频程)。最常用的是二进制的动态采样网络，即
jja0?2,b0?1,每个网格点对应的尺度为2 ，而平移为 2k,这样得到的小波：
?j,k(t)?2?j/2?(2t?k) j,k?Z (3-13)
?j我们将其称为二进制小波，它对信号分析具有变焦距功能。假定放大倍数为2?j，它对应观测信号的某部分内容，若想进一步观察信号更小的细节，则需增加放大倍数即减小 j 值；反之，若想了解信号更粗的内容，就需要减小放大倍数即增大 j 值。在这个意义上，小波变换被称为“数学显微镜”。 3.4 多分辨率分析
多分辨分析?6?又称多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它是S.Mallat 在 1988 年提出的，可用于正交小波分解和重构，也称金字塔算法。多分辨分析的基本思想是将原始信号分为不同分辨率的几组信号，然后选择合适的分辨率或者在各级分辨率上处理此信号。因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗糙到精细观察目标，这就是多分辨分析的基本思想。 多分辨分析的定义如下：
空间L2(R)中的多分辨率分析是指L2(R)中具有如下性质的一个空间序列{ Vk}(其中k∈Z)：
(1)单调性：对于任意 k ∈ Z，{ Vk}是一个嵌套序列，即Vk?Vk?1。
(2)逼近性：所有的Vk在L2(R)中是稠密的，也就是说所有Vk的交集是零函数，即
???2 ?Vk??0?,close??Vk???L(R) (3-14)
????k?Z(3)伸缩性：体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间变化的一致性，即f(t)?Vk?f(2t)?Vk?1。
(4)平移不变性：对于任意 k ∈ Z，有?k?2?k/2t??Vk??k(2?k/2?j)?Vk?1 (5)Riesz 基存在性：??(t)?V0，使??k(2?k/2t?j|j?Z)?构成Vk的 Riesz 基。 实际上，在上面的多分辨率分析逼近中，存在着一个函数?(t)?L2?R?，使得： ?j,k?2j/2??2jx?k?k?Z （3-15）
在Vj内形成一个标准正交基，其中????被称为尺度函数。
由于尺度函数基??j,k?组成的空间Vj中满足Vj?Vj?1，在将Vj?1中的信号投影到
Vj中时必定会产生一个细节差异，我们可以将这个差异在另一个与Vj正交的空间
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