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4 小波阈值去噪算法
近年来，随着对小波理论研究的不断深入，小波变换理论开始应用于图像处理领域，由于多分辨分析和特殊的时频特性，使得我们可以从不同的尺度上对研究对象进行分析、描述，成为对数字图像进行去噪的一种理想工具。小波去噪方法的成功主要得益于小波变换具有如下特点[10]：
(1)低熵性。 小波系数的稀疏分布，使得图象变换后的熵降低。
(2)多分辨率。 由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等。
(3)去相关性。 因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。
(4)选基灵活性。 由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同应用场合，对不同的研究对象，可以选用不同的小波母函数，以获得最佳的效果。
小波阈值去噪方法是目前图像去噪领域研究的最为广泛的方法。小波去噪是小波变换较为成功的一类应用，其去噪的基本思想可用图4.1概括，即带噪信号经过预处理，然后利用小波变换把信号分解到各尺度中，在每一尺度下把属于噪声的小波系数去掉，保留并增强信号的小波系数，最后在经过小波逆变换回复检测信号。
带噪图像 小波分解 分尺度去噪 逆小波变换 恢复图像 图4.1 小波去噪框图
4.1 小波阈值去噪的基本原理
小波阈值去噪主要基于以下原理：含噪图像经过小波变换后，图像的能量主要集中在最低分辨率子带上，而噪声信号的能量主要分散在各个高频子带上，因此对高频（小波）系数的处理是去噪的焦点。由于代表图像信息有效信号的小波系数的绝对值较大，而代表噪声信息的小波系数的绝对值较小，因此，可以通过设定一个合适的数作为阈值，对于绝对值小于该阈值的小波系数认为是由噪声引起的，置为零；而对于绝对值大于阈值的小波系数认为是由信号和噪声共同引起，或者完全保留，或者做相应的收缩处理，来抑制甚至去除图像中的噪声，最后进行小波逆变换，实现图像重构。
小波阈值去噪方法可通过以下 3 个步骤?8?实现： （1）计算含噪图像的正交小波变换。
选择合适的小波基和小波分解层数 J，运用 Mallat 分解算法将含噪图像进行
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J 层小波分解，得到相应的小波分解系数。 （2）对分解后的高频系数进行阈值量化。
对于从 1 到 J 的每一层，选择一个恰当的阈值和合适的阈值函数将分解得到的高频系数进行阈值量化，得到估计小波系数。c （3）进行小波逆变换。
根据图像小波分解后的第 J 层低频系数（尺度系数）和经过阈值量化处理的各层高频系数（小波系数），运用 Mallat 重构算法进行小波重构，得到去噪后的图像。
由以上叙述可知，阈值、阈值函数的选取，小波基的选择及分解层的确定是小波阈值去噪方法中的关键因素。 4.2常用小波基
小波去噪方法之所以取得成功是因为小波变换具有四个重要特点：时频局部化
特性，多分辨率特性，解相关特性和小波基选择的多样性。由于小波基函数的多样性，不同的小波基函数具有不同的性质，如支撑长度，对称性，消失矩，正则阶等。常用的小波基函数?21?有Haar 小波、 Daubechies（dbN）小波系、Morlet 小波、墨西哥草帽小波等。
其中，Haar 小波是小波分析发展过程中用得最早、也是最简单的小波，它本身是一个阶跃函数，可以用解析的方法表达为如下形式：
2?1,1?（4-1） ?H??????1,???1
?0,2others?0???1 其尺度函数为：
?H??????1,0???1?0,others （4-2）
Haar 小波的支集长度为 1，滤波器长度为 2，是正交、对称的。 4.3 常用阈值选取方法
在小波阈值去噪方法中，阈值的选取?9?是个关键问题，因为阈值选得过大，会造成有用的高频信息如边缘信息的丢失，使去噪后的图像变得模糊；而阈值选得过小，又会保留过多的噪声，使去噪效果不明显。目前使用的阈值形式可以分为全局阈值和局部阈值两类。全局阈值对各层所有的小波系数或者同一层内的所有系数都
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是相同的；而局部阈值则是根据小波系数的局部特征来确定的，更具有灵活性。
常用全局阈值主要有：VisuShrink 阈值、SUREShrink 阈值、BayesShrink等。 (1)VisuShrink 阈值
VisuShrink 阈值方法是由 Donoho 和 Johnstone 在1994 年提出的一种渐进意义上的最优阈值方法，它是在正交小波变换和加性零均值高斯白噪声的的前提条件下提出来的，具体的阈值表达式为：（4-3） ???n2log?N?
其中，?n?median?Yi?0.6745，表示噪声的标准差估计值，Yi表示第一级高
频对角子带的小波系数值， N 为小波系数的个数。VisuShrink 阈值的理论依据是：当 N→+∞时，零均值高斯白噪声的最大幅值以接近于 1 的概率小于 故通用阈值是渐近意义上的最优阈值。但是 VisuShrink阈值的不足?n2log?N?，
也在于：VisuShrink 阈值的大小过度依赖于待处理图像的大小，即当 N 较大时，
?n2log?N?趋向于将所有的小波系数置零，这时往往产生“过扼杀”系数的现象，
重构后的图像会出现较大的偏差。 (2)SUREShrink 阈值
SUREShrink 阈值估计方法在 SURE(Steins Unbiased Risk Estimation)准则下得到的阈值，该准则是均方差准则的无偏估计，它是专门针对软阈值函数得出的结论，且 SURE 阈值趋近于理想阈值。SURE 阈值可以表示为：
?sure?N22（4-4） ?argmin???yi?t??N?n?2?n?I?|yi|?t?
t?0i?1?i?12N 其中， I 是示性函数，∧为两数取小，yi表示带噪小波系数， N 是某一系 数层中小波系数的个数，?n用鲁棒中值估计法进行估计。
为了减少计算时搜索的范围，在上式中最佳阈值的选择范围可以缩小到一个有限范围，即?sure??y1,y2??????yN?，因此是在 SURE 准则下的次优解。在实际应用中，SUREShrink 阈值去噪方法能获得较为满意的去噪效果，是阈值去噪方法中一种误差较低的方法。 4.4常用的阈值函数
在选定合适的阈值λ之后，将含噪小波系数与阈值λ进行比较，小于阈值λ的小波系数被认为是噪声直接置零，而大于阈值λ 的小波系数则需要通过阈值函数进行收缩，常用的阈值收缩函数?9?有三类： (1)硬阈值函数（hard-threshold)
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wf1??wf,wf??0,wf?? （4-5）
硬阈值函数是将小于阈值λ 的小波系数wf 设定为 0，而将大于阈值 λ的小波系数wf直接保留。在直角坐标系下，其函数曲线如图 4.1 所示：
wf1?i,j?
?? ? wf?i,j?
图4.1 硬阈值函数曲线 可以明显看出,硬阈值函数在两个阈值点 ± λ处是不连续的，这样经过硬阈值函数处理得到的重构信号可能会产生一些振荡，即伪 Gibbs 现象。 (2)软阈值函数（soft-threshold)
wf1??signwf???wf??,wf???0,wf?? （4-6）
软阈值函数仍是将小于阈值λ 的小波系数wf设定为 0，但是，对于大于阈值λ 的小波系数，都减去一个阈值λ 的大小。在直角坐标系下，其函数曲线如图 4.2 所示： wf1?i,j?
?? ? wf?i,j?
图4.2 软阈值函数曲线 软阈值函数在两个阈值点 ± λ处都是连续的，弥补了硬阈值函数的缺陷，改善了重构信号中出现的振铃现象和伪吉布斯现象，使重构信号比较平滑。但是，当wf?? 时，wf1和wf之间总是存在恒定偏差 λ ，直接影响了重构信号与真实信号的逼近程度，使重构信号出现边缘模糊等失真现象。
Bruce和Gao在高斯噪声条件下，出了软阈值和硬阈值萎缩方法的偏差、方差以及L2风险公式，通过对这些公式的分析，得出了如下结论M：①给定阈值T，软阈值总比硬阈值萎缩造成的方差小；②当系数充分大时，软阈值比硬阈值方法造成的偏差大；③当系数真值在T附近时，硬阈值方法有最大的方差、偏差以及L2风
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险，而软阈值方法则在系数真值较大时才有较大的方差L2风险及偏差；两种方法在系数真值较小时，L2风险都很小。
总的来说，硬阈值方法可以很好保留图像边缘等局部特征，但图像会出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真，而软阈值方法处理结果则相对平滑得多，但是软阈值方法可能会造成边缘模糊等失真现象。针对硬阈值函数和软阈值函数的缺陷，Bruce 和 Gao 提出了半软阈值函数。 (3)半软阈值函数
Bruce 和 Gao 提出的半软阈值函数，具体可以表示为：
0,?wf??1??w??2f1???sign?wf?,?1?wf??2???21?wf??2wf,?? wf1?? （4-7）
虽然该半软阈值去噪后，重构信号比较平滑，而且振铃效应和伪 Gibbs现象得到很好的抑制，但是该阈值函数需要估计两个阈值，实现起来比较困难，这就限制了它在实际中的应用。 （4）改进的阈值函数[14]
???2log?N?，全局阈值 其中σ为噪声标准误差,N为信号的长度.在实际应
用中,图像中的噪声标准误差是不能预先知道的,通常采用估算公式
??MAD （4-8） 0.6574来确定噪声标准误差,其中MAD为HH子带小波系数的中值。虽然软硬阈值算子在图像去噪中得到了广泛应用,效果也不错,但是由于噪声分量随着分解尺度增大逐步减小,采用固定的阈值进行操作很显然没有利用小波变换的这一特性.为了利用小波变换在不同尺度和方向上的特性,考虑在图像小波分解的不同分解尺度和方向上采用不同的阈值λ. 定义?j,k??j,HH????j/2,HL,LH??/2,LL?j?j??/21?j (4-9)
其中HH表示某一尺度分解的高频部分(对角线部分),HL,LH分别为相应尺度的水平和垂直部分,LL为低频部分.λj为相应分解尺度的软阈值.选择合适的分解级数N,对图像小波分解后的不同部分进行软阈值处理,最后再利用小波逆变换进行重构,得到去噪处理后的图像.
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