学士学位论文 Wj中描述，即有：
Vj?1?Vj?Wj,，（3-16） ?j?Z Wj⊥ Vj， 我们称这个空间Wj为小波空间。根据尺度空间和小波空间的关系和性质，我们来讨论这些空间的基函数。如果?????k??k?Z是构成V0空间的正交基，那么存在一个函数ψ(x)，其所形成的?????k??k?Z就构成V1子空间V0的正交补空间W0。通过伸缩和平移变换?j,kj?x?????2??k??k?Z也就成为Vj的正交补空间Wj的基函数。这里
函数ψ(x)被称为母函数或小波函数。它在信号分析中表示信号的细节信息。 3.5 尺度函数??t?
由尺度函数??t??1?构造小波是小波变换的必经之路。尺度函数??t?应满足下列条件：
（1）???t?dt?1，它是一个平均函数，与小波函数??t?相比较，其傅里叶变换??w?????具有低通特性，??w?具有带通特性。
（2）??t?=1，尺度函数是范数为1的规范化函数。
?m,n?t?dt?0，即尺度函数对所有的小波是正交的。 （3）??m,n?t???''??（4）
??????m,n?t??m,n?t?dt?0，即尺度函数对于评议时正交的，但对于伸缩j来说不
''是正交的。 （5）
??t??2?hn??2t?n?n?Z，即某一尺度上的尺度函数可由下一尺度的线性组合得
到，hn是尺度系数。
（6）尺度函数与小波是有关联的。??t?可表示如下：
??t??（3-17） 2?gn??2t?n?
n?Z式中，2是归一化因子，gn是由hn导出的系数，相应的傅里叶系数为
??w???n?Zgn2e?jwn2???w??w??w? ??G????? （3-18）
222???????w?式中，G????2??n?Zgn2e?jwn2 (3-19）
这说明小波可由尺度函数的伸缩和平移的线性组合获得，这就是构造小波正交基的途径。
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3.6 Mallat 算法
著名的 Mallat 分解、重建算法?9?在小波分析中的地位就相当于快速傅里叶变换在经典傅里叶变换中的作用。
信号(函数) f(x)?L2(R)在尺度空间Vj中的逼近fj(x)可以表示为下个尺度空间Vj?1中的粗信息和小波空间Wj?1中的细节信息，即：
fj(x)??ck?Zjk?j,k?x???ck?Zj?1k ?j?1,k(x)??dk?j?1,k(x) （3-20）
j?1k?Z由式(3-18)和尺度函数 ? 、小波函数ψ 的正交性，可以计算出： ckj?1? dkj?1?ck?j?cnjn?j,n,?j?1,k??j,n,?j?1,k?cnnjnhn?2kgn?2k** (3-21) (3-22)
,?j,k?cnjn??cnjn?cnj?1n?j?1,n,?j,k??dnj?1j?1?j?1,n
??cnj?1nhk?2n??dngk?2n (3-23)
n其中，?hk?k?Z是由正交尺度函数的两尺度方程对应的滤波器系数序列，可以看成低通滤波器；?gk?k?Z可以看成高通滤波器。令cj??ckj?k?Z、cj?1??ckj?1?k?Z、
dj?1?dk?j?1?k?Z，则cj?1和dj?1可分别看成cj的低频信号和细节信号。式(3-19)和式
（3-20）为小波分解算法，对低频信号递归应用小波分解算法，则可得到cj的低频
dM?1......dj?1为cj的小波变换。式（3-21）为小波重构算法。小波分解与小波重
构算法合起来就是一维情形下著名的离散小波变换的 Mallat 算法。它的卷积表达
?*?j?1j?D(c*h)?c形式为：?j?1（3-24） ?j?*?
d?Dc*g??????c?Uc?*j?j?1?*h??Udj?1?*g （3-25）
j?*j?j?*?h表示滤波器 h 的共轭反转，c*h表示c与h的卷积；D?c*h?表示卷积
??j?*?*c*h的二元下抽样，重构的情况类似，U 表示二元上抽样。
dj?1
dj?2 dM
jc cj?1j?2M?1M c ... c c
（a）
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dM dM?1 dcMj?1 j cM?1 .. … cj?1 c
（b）
图3.1 一维小波分解与小波重构的迭代过程 （a）小波分解（b）小波重构
图3.2 小波分解与重构的二通道滤波器组表示
?在 Mallat 算法中，??h,g?用做分析滤波器； ( h, g)用做综合滤波器。
???*?*Mallat 算法不仅给出了小波变换的快速算法，而且揭示了小波多分辨率分析与滤波器组之间的内在联系，具有重要的理论意义和应用价值。
经过二维小波变换，可以将原图像逐级分离，分离成具有不同尺度的子图像，一幅图像经过三级二维小波变换的塔式结构如图 3.3所示。
LL3 LH3 LH2 HL3 HH3 LH1 HL2 HH2 HL1 HH1
图3.3三级二维小波变换塔式结构
原图经小波变换后生成四个分量部分：低频分量 LL，保留了原图的大部分信息；高频分量 LH、HL、HH，均包含了边缘、区域轮廓等细节信息。
(1)HH 子带是由两个方向利用高通小波滤波器卷积后产生的小波系数，它表示图像的对角边缘特性。
(2)LH 子带是在行方向利用低通小波滤波器卷积后，再用高通小波滤波器在列方向卷积后产生的小波系数，它表示图像的垂直方向奇异特性。
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(3)HL 子带是在行方向利用高通小波滤波器卷积后，再用低通小波滤波器在列方向卷积后产生的小波系数，它表示图像的水平方向奇异特性。
(4)LL 子带是由两个方向利用低通小波滤波器卷积后产生的小波系数，它是图像的近似表示。
C（m,n） cA1 cH1 cV1 cD1 cA2 cH2 cH1 cV2 cD2 cV1 cD1 图3.4 小波图像分解过程 二维离散图像{c（m，n）}，而小波变换可将它分解为各层各个分辨率上的近似分量。cAj，水平方向细节分量cHj，垂直方向细节分量cVj，对角线方向细节分量cDj。小波图像分解过程如上图，其2层小波重构过程正好相反，基于小波变换的图像处理，是通过对图像分解过程中所产生的近似分量与细节分量系数的调整，使重构图像满足特定条件，实现图像处理。如下图：
原始图像第一层分解系数20204040606080801001001202040608010012012020406080100120
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第二层分解系数图像重构1020204030604080501006010203040506012020406080100120 图3.5 图像的二维小波两级分解与重构
本章主要介绍了小波图像去噪的一些基本知识，为后续小波去噪算法改进做了必要的准备。
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