概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第11页 (共96页)
P(AB)?P(A)P(B)?(P(A)),P(AC)?P(A)P(C)?(P(A)), P(BC)?P(B)P(C)?(P(A)),222P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
?3P(A)?3(P(A)).
3依题意，有
3P(A)?3(P(A))?2916,(P(A))?P(A)?2316?0
解之，得P(A)?1/4,
P(A)?3/4（舍去）
36.（00，3分）设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)?
19，A发生B不
解 依题意P(AB)?P(AB)，故P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB). 即
P(A)?P(B).
又因A与B独立，故A与B独立.
P(AB)?P(A)P(B)?(P(A))?1/9.
2解得P(A)?1/3,P(A)?2/3.
37.（07，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，
0?p?1，则此人第4次射击恰好第二次命中目标的概率为（ ）
A．3p(1?p) B．6p(1?p) C．3p(1?p) D．6p(1?p) 解 选（C）
38.（88，2分）在区间(0,1)中随机取两个数，则事件“两数之和小于
65222222”的概
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第12页 (共96页)
率为 解 这是一个几何概型的计算问题. 设x,y分别表示在区间(0,1)中随机地取两个数，则试验的样本空间?为第一象限中的单位正方形区域，即
??{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.设事件A?“两个数之和小于A?{(x,y)|x?y?6565”，则
,0?x?1,0?y?1}. 由于点落在?内的任何区域的概率与
区域的面积成正比，故
P(A)?SAS??1?14217()?, 2525其中SA与S?分别表示集合A与集合?的面积.
39.（91，3分）随机地向半圆0?y??422ax?x（a为正常数）内掷一点，点落
在半圆内的任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于
的概率为
?4解 设事件A?“掷的点和原点连线与x轴夹角小于算问题. 由几何概率公式
P(A)?SDS?”，这是一个几何概型的计
其中
SD?S?ABC?S1/4circle?12a?214?a,2S??12?a.
21故P(A)?2a?122142?a2?12?1a?.
40.（07，4分）在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为
解 参考38题解得这两个数之差的绝对值小于
13的概率为.
4212概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第13页 (共96页)
第二章 随机变量及其分布
1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律. 解 X的分布率如下表所示：
X
2. 进行某种试验，设试验成功的概率为
，以X表示试验首次成功所
44需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 解 X的分布律为：
?1?P(X?k)????4?k?10 1 2 p 28/45 16/45 1/45 31，失败的概率为
?3???,k?1,2,3,? ?4?X取偶数的概率：
?P{X为偶数}??k=1?1?P(X?2k)????k=1?4??k?2k?1?3????4??1?16?1?3???3??51?1k=1?16?161
3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数x1,x2,x3.求：
X＝max (x1,x2,x3)的分布律及P(X≤4)； Y＝min (x1,x2,x3)的分布律及P(Y>3).
3解 基本事件总数为：C5?10，
(1)X的分布律为：
X 3 4 5
p 0.1 0.3 0.6
P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y的分布律为
P(X>3) =0
4. C应取何值，函数f(k) =C?Y 1 2 3 p 0.6 0.3 0.1 ?kk!，k＝1，2，?，λ>0成为分布律？
解 由题意,
?k?1f(x)?1, 即
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第14页 (共96页)
??Ck?1?kk!??C?k?1?k???k?0???C?????C(e?1)?1 k!0!??k?0k!解得：C?1(e?1)?
5. 已知X的分布律 X
P
－1
161
26
2
36
1?3?? 求：（1）X的分布函数；（2）P?；（3）. X?P1?X??????2??2?解 (1) X的分布函数为F(x)?P(X?x)??0,??1/6, F(x)???1/2,??1,x??1??1x?1?x?2x?21;
?xk?xpk
(2) P?X?????1?1 ?P(X??1)??2?63???P(?)?0 2?(3) P?1?X?6. 设某运动员投篮投中的概率为P＝0.6，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出
其图形.
解 X的分布函数
F(x) ?0?F(x)??0.6?1?x?00?x?1 x?11 0.6 0 1 x
7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：
（1）三次射击中恰好命中两次的概率；
（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则
223?22?3p(1?p) (1) P(A) =P3(2)?C3p(1?p)223?2333?323(2) P(B) =P3(2)?P3(3)?C3p(1?p)?C3p(1?p)?3p?2p
8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：
（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；
（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第15页 (共96页)
(1) P(X=6) =
P(X=6) =
??kk!ke????e466!?e?4?0.104或者
?k!e???k?64kk!e??4??k?74kk!e?4= 0.21487 – 0.11067 = 0.1042.
10(2) P(X≤10)??k?04k?4k!?1??k?114kk!e?4?1?0.00284 = 0.99716
9. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4) 解 由已知可得，
?11!24e????22!e??,
解得λ=2， (λ=0不合题意)
因此,P(X?4)?4!e?2= 0.09
10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃
瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.
解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此 (1) P(X=2) ?(2)P(X322!e?3?0.224
??2)?1?P(X?2)?1??k?23kk!e?3?1?0.8008?0.1992
(3)P(X?2)?P(X?2)??k?3?3kk!e?3?0.5768
(4)P(X?1)??k?1?3kk!e?3?0.9502
11. 设连续型随机变量X的分布函数为
?0,?2F(x)??kx,?1,?x?00?x?1 x?1求：（1）系数k；（2）P(0.25 F(x)=P(X≤x)=P(X<0)+P(0≤X≤x)=kx2 又F(1) =1, 所以k×12=1 因此k=1. (2) P(0.25 ?2x,0?x?1 f(x)?F'(x)??0,Other? (4) 由(2)知，P(0.25