概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第16页 (共96页)
P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} = C430.53(1?0.5)4?3?0.25.
12. 设连续型随机变量X的密度函数为
??F(x)?????2?k1?x0,2,x?1x?1
1?求：（1）系数k；（2）P?；（3）X的分布函数. X???解 (1)由题意，
?????f(x)dx?1, 因此
?????f(x)dx?1?1?1?k1?x2d?x1akrcsinx???1k?1
解得: k?? (2) P?x???1???2??1/2?1/2k1?x2dx?1?arcsinx1/2?1/2?1?????1???? ??66?3 (3) X的分布函数
x??
F(x)???0?f(x)dx??1/2?arcsinx/??1?x??1?1?x?1x?1
解得: k?1/?
13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z表示每天的耗电率(即用电量除以100万
千瓦时)，它具有分布密度为
?12x(1?x)2,F(x)???0,0?x?1其他
若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？
解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：
P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=?12x(1?x)2dx?0.0272
0.81 如果供电量只有90万千瓦，供电量不够用的概率为：
P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=?12x(1?x)2dx?0.0037
0.91
14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分
布，分布密度为
x?1600e,?F(x)??600?0,?0?x0?x
试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.
解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A={X≤200}，则
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第17页 (共96页)
x60013 P(A)=
?20001600e?dx?1?e?
设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为： P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?CP(A)?(1PA())?030?30?133?1e(? )?1e1
15. 设X为正态随机变量，且X～N(2，?2)，又P(2 4?2?2?2X?2? P(2?X?4)?P??????????2????????????0 .30?即???2???0.3?0.5?0.8 ????X?20?2???2??2?故 P(X?0)?P? ????????1?????0.2????????? 16. 设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X－10| ?10|?a??P??a?X?10?a??P????22??2?a???a??a?????????2?????1?0.9 ?2??2??2?所以?? 查表可得， ?a???0.95 ?2?a2=1.65 即 a = 3.3 17. 设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X在范围(10.05 ±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率. 解 由题意，设P为合格的概率，则 P?P(|X?10.0?5|0?.12P)???0.X?12X?10.05???10?.?05?P?0.?12?2?0.06?? 2??(2)??(?2)?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544 则不合格的概率=1?P = 0.0456 18. 设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1， x2)、(x2，+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题， x1?603?X?60x1?60?P(X?x1)?P??)??0.25???(3333?4?5 ???(?x1?603)?1??(x1?603)?0.75,查表可得 ?x1?603?0.67 解得, x1 = 57.99 x2?603?4?X?60x2?60?又P(X?x2)?P????()??0.5833 ?3333?4?5?? 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第18页 (共96页) 查表可得 x2?603?0.21 解得, x2 =60.63. 19. 已知测量误差X（米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一 次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？ 解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知 7.5?10?7.5??10?7.5X?p?P(X?10?)P????101010????(0.25?)??(1.?7?5)?(0?.2?5)1?(1.7?5)? 0.59?87558610.95990.设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586) n 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)≥0.98 n 0.4414≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n≥4.784 取n=5, 即，需要进行5次测量. 20. 设随机变量X的分布列为 X －2 0 2 3 P 17 17 372 27 试求：（1）2X的分布列；（2）x的分布列. 解 (1) 2X的分布列如下 2 2X -4 p 0 4 6 1/7 1/7 3/7 2/7 (2) x的分布列 21. 设X服从N(0，1)分布，求Y＝｜X｜的密度函数. ?x,解 y=|x|的反函数为h(y)=???x,x?0x?012??y2X2 p 0 4 9 1/7 4/7 2/7 , 从而可得Y=|X|的密度函数为： 12??y2 当y>0时， fY(y)?fX(?y)|(?y)'|?fX(y)|y'|?e2?e2?2?y2?e2 当y≤0时，fY(y)?0 因此有 ?2?ye2,?fY(y)?????0,2y?0y?0 22. 若随机变量X的密度函数为 ?3x2,f(x)???0, 0?x?1其他 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第19页 (共96页) 求Y＝ 1x的分布函数和密度函数. 解 y= 1x 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= 1y, y>1, h’(y)=?1y2 ?1??1??1?13fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX???2?3?2??2??4 yy?y??y??y??3,y?14因此有 f(y)?? y?Y?0,other??yy?4?3?33ydy??y?1?y,??1Y的分布函数为：FY(y)??1??0,y?1other 23. 设随机变量X的密度函数为 2?,?2f(x)???(1?x)?0,?x?0 x?0试求Y＝lnX的密度函数. 解 由于y?lnx严格单调，其反函数为h(y)?ey,且h'(y)?ey, 则 fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(e)e??2ey2yyy?(1?e2)y ,???y????(e?y?e) 24. 设随机变量X服从N(μ,?)分布，求Y＝e的分布密度. 1x解 由于y?e严格单调，其反函数为h(y)?lny,且h'(y)?,y>0, 则 yfY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(lny)12??y?12?22x1y(lny??)2 ,y?0?e当y?0时fY(y)?0 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第20页 (共96页) 1?(?122?e?因此 fY(y)??2??y??0,lny??2),y?0y?0 25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y＝1?e?2x在区间(0, 1)上服从均匀 分布. 解 h(y)??12由于y?1?e?2x在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为： ln(1?y),0?y?1, 并且h'(y)?12(1?y)，则当0?y?1 fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(??2(?1212ln(1?y))112(1?y)?1 ?2eln(1?y))2(1?y)当y≤0或y≥1时，fY(y)=0. 因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布. 26. 把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的 次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为 ?1??1?3P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=C32????? 8?2??2?813?1??1??1?P(X=1, Y=1)= C????? P(X=0, Y=3)= ??? 88?2??2??2?于是，（X，Y）的联合分布表如下： 133?1312X Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8 27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3 件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求： （1）X与Y的联合概率分布； （2）X、Y的边缘概率分布； （3）X与Y相互独立吗？