概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第31页 (共96页)
f1(x)f2(x)?0,
?????f1(x)f2(x)dx?0?1, 因此也否定（C）. 故选（D）.
事实上，F1(x)F2(x)是随机变量X?max(X1,X2)的分布函数.
48.（88，2分）设随机变量服从均值为10，均方差为0.02的正态分布。已知 ?(x)??x12???e?u22du，?(2.5)?0.9938，则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为
解 依题意，X~N(10,0.022). 因此
P(9.95?X?10.05)?P(|X?100.02~N(0,1). 于是
X?100.02|?2.5)?2?(2.5)?1?0.9876.
49.（89，2分）若随机变量?在(1,概率是
解 设事件A?“方程有实根”，而方程有实根的充要条件是根的判别式???2?4?0. 即
A?{?26)上服从均匀分布，则方程x??x?1?0有实根的
2?4}. 因此
P(A)?P(??2)?P(???2)?0.8?0?0.8.
50.（91，3分）若随机变量X服从均值为2，方差为?2的正态分布，且P(2?x?4)?0.3，则P(X?0)? 解 依题意
P(2?X?4)??(?(24?2?)??(2?2?),
?)?P(2?X?4)??(0)?0.3?0.5?0.8.
于是
P(X?0)??(0?2?)??(?2?)?1??(2?)?0.2.
51.（08，4分）设随机变量X和Y独立同分布，且X的分布密度函数为F(x)，则
Z?max{X,Y}的分布函数为（ ）
A．F(x)
2
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B．F(x)F(y) C．1?(1?F(x))2 D．(1?F(x))(1?F(y)) 解 选（A）.
52.（08，11分）设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X?i)?Y的概率密度为
13， i??1,0,1，
?1,fY(y)???0,0?y?1,otherwise.
记Z?X?Y，求： （1）P(Z?12|X?0)；
（2）Z的概率密度fZ(z).
P(X?0,Z?|X?0)?P(X?0)1)P(X?0,Y?)2?P(Y?1)?1.
P(X?0)221解 （1）P(Z?122?（2）Fz(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)
?P(X?Y?z,X??1)?P(X?Y?z,X?0)?P(X?Y?z,X?1)?P(Y?z?1,X??1)?P(Y?z,X?0)?P(Y?z?1,X?1)?P(Y?z?1)P(X??1)?P(Y?z)P(X?0)?P(Y?z?1)P(X?1) ??1313(P(Y?z?1)?P(Y?z)?P(Y?z?1))(FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)).1?1?z?2otherwise?1?,fY(z)?FZ?(z)?(fY(z?1)?fY(z)?fY(z?1))??33??0,
53.（04，4分）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?，0???1，数u?满足P(X?u?)??，若P(|X|?x)??，则x等于（ ） A．u?
2B．u1??
2
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第33页 (共96页)
C．u1??
2D．u1??
解 由于X~N(0,1)，故对于任何正数?，有
P(X??)?P(X??)?12P(|X|??)
若P(|X|?x)??，则因0???1，必有x?0，且
P(X?x)?12P(|X|?x)?12P(|X|?x)?12(1?P(|X|?x))?1??2.
由此可见，x?u1??. 应选（C）.
2
54.（06，4分）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则
P(max{X,Y}?1)?
解 填.
91
55.（88，6分）设随机变量X的概率密度为f(x)?12?(1?x)，求随机变量Y?1?3X的
概率密度函数fY(y)。
解 先求出随机变量Y的分布函数，再求fY(y).
FY(y)?P(Y?y)?P(1?3X?y)?P(X?(1?y))?3???(1?y)31?(1?x)2dx.
用变下限积分求导可得
fY(y)?dFY(y)dy?3(1?y)26?(1?(1?y)).
56.（93，3分）设随机变量X服从(0,概率分布密度fY(y)?
解 方法一，先求随机变量Y的分布函数，再求fY(y).
当y?0时，FY(y)?0. 当y?4时，FY(y)?1. 当0?y?4时，
2)上均匀分布，则随机变量Y?X在(0,24)内
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FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(X?y)?FX(y)?y2.
于是，
?1,0?y?4? fY(y)?FY?(y)??4y?0,otherwise?方法二，应用单调公式法. 由于y?x2在(0,h?(y)?12y4)内单调，反函数x?h(y)?y在(0,2)内可导，且导数
恒不为零，因此随机变量Y的概率分布密度
?|h?(y)|fX(h(y)),fY(y)??0,?0?y?4otherwise
?1,0?y?4? ??4y?0,otherwise?
?e?x,57.（95，6分）设随机变量X的概率密度为fX(x)???0,x?0,x?0. 求随机变量Y?eX的
概率密度fY(y)?
解 方法一，先求随机变量Y的分布函数，再求fY(y).
当y?1时，FY(y)?0. 当y?1时，
FY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)?x?lny0edx?1??x1y.
于是，
?1,?fY(y)?FY?(y)??y2??0,y?1y?1
方法二，应用单调公式法.
由于y?e在(0,??)内单调，其反函数x?lny在(1,??)内可导且其导数x?y?
x1y?0,因此
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?1?lny,y?1?efY(y)??y??0,y?1??1?2,?y??0,y?1y?1
58.（98，3分）设平面区域D由曲线y?1x及直线y?0，x?1，x?e2所围成，二维随
机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为
解 首先求(X,Y)的联合概率密度f(x,y). 设区域D的面积为SD，则依题意有
SD??e121xdx?lnx|1?2,
e2?1?,f(x,y)??2??0,(x,y)?D,(x,y)?D.
其中D?{(x,y)|1?x?e,0?y?21x}.
其次，求关于X的边缘概率密度. 当x?1或x?e2时，fX(x)?0. 当1?x?e2时，
fX(x)??????f(x,y)dy?14.
?1x120dy?12x. 故(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的
值为fX(2)?
59.（99，8分）设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。 Y X y1 y2 18y3 P(X?xj)?Pi? x1 x2 P(Y?yj)?P?j 1816 1
2解 首先根据边缘分布公式p?1?Y X ?i?1pi1求出p11?124. 然后再依次求出其他值. 见下表
y1 124y2 y3 112P(X?xj)?Pi? x1 18 14