概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第36页 (共96页)
x2 P(Y?yj)?P?j 1816 3812 1413 34 1
60.（01，7分）设某班车起点站上客人数X服从参数为?,??0的泊松分布，每位乘客
在中途下车的概率为p，0?p?1，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2）二维随机变量(X,Y)的概率分布。
解 （1）P(Y?m|X?n)?Cnmpm(1?p)n?m, m?0,1,?n，n?1,2,?
（2）P(X?n,Y?m)?P(X?n)P(Y?m|X?n)?n?0,1,2,?，m?0,1,?n.
?nn!e???Cnp(1?p)mmn?m,
61.（03，4分）二维随机变量(X,Y)的概率分布为
?6x,f(x,y)???0,0?x?y?1,otherwise,
则P(X?Y?1)? 解 P(X?Y?1)?12??f(x,y)dxdy??0dx?1?xx6xdy?14.
x?y?1
62.（87，6分）设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为
?1,fX(y)???0,0?x?1,otherwise.
?e?y,fY(y)???0,y?0,y?0.
求随机变量Z?2X?Y的概率密度。
解 由于X，Y相互独立，因此它们的联合概率密度为
?e?y,f(x,y)?fX(x)fY(y)???0,0?x?1,y?0otherwise
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第37页 (共96页)
随机变量Z的分布函数为
FZ(z)?P(2X?Y?z)???f(x,y)dxdy
2x?y?z?0,z?0?zz?2x?2?y???dx?edy,0?z?2
00?1z?2x?yedy,z?2??dx?00??0,z?0??2z2x?z???(1?e)dx,0?z?2
0?12x?z)dx,z?2??(1?e0???0,z?0??z11?z????e,0?z?2 ?222?1?1(e2?1)e?z,z?2?2?随机变量Z的概率密度为
??0,z?0??1?zfZ(z)?FZ?(z)??(1?e),0?z?2
?2?1(e2?1)e?z,z?2.??2
63.（89，6分）设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1，标准差（均方差）为2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数。
解 由于独立的正态随机变量X与Y的线性组合仍服从正态分布，于是随机变量 Z?2X?Y?3的概率密度函数为
fZ(z)?132?e?(z?5)182.
64.（91，6分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?2e?(x?2y),f(x,y)??0,?x?0,y?0,otherwise,
求随机变量Z?X?2Y的概率密度。
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第38页 (共96页)
解 F(z)?P(Z?z)?P(X?2Y?z)?当z?0时，F(z)?0. 当z?0时，
F(z)???f(x,y)dxdy
x?2y?z?z0dx?2?z202e?(x?2y)dy??z0(e?x?e?z)dx?1?e?z?ze?z.
所以，随机变量Z?X?2Y的概率密度函数为
?0,z?0 f(z)???z??e,z?0.
65.（92，6分）设随机变量X与Y独立，且X服从正态分布N(?,?2)，而Y服从[??,?]上的均匀分布，试求Z?X?Y的概率密度函数（计算结果用标准正态分布函数?表示，其中?(x)?12??x??e?t22。 dt）
解 解法一：先求分布函数FZ(z).
FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)??z?y??dx?fX(x)fY(y)dxdy12??x?y?z????dy?12?12????e?(x??)2?22????(z?y?? )dy?因此，Z的概率密度函数为
fZ(z)?FZ?(z)?12??????1?(z?y???)dy.
其中?是标准正态分布的密度函数. 由于?(x)是偶函数，因此有 ?(z?y??)??(y???z).
???于是
?2??解法二：直接应用独立随机变量之和密度的卷积公式.
?fZ(z)?12????1?(y???z)dy?1(?(????z)??(?????z?2)).
fZ(z)????12?12?fX(z?y)fY(y)dy???2???112??e?(x?y??)2?2dy????12??e?(y???z)2?22dy?????z)).
(?(????z?)??(?
66.（94，3分）设相互独立随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第39页 (共96页)
X P 0 121 12 则随机变量Z?max(X,Y)的分布律为 解 易见Z只取0与1两个可能值，且
P(Z?0)?P(max(X,Y)?0)?P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0)?P(Z?1)?1?P(Z?0)?34.
14,
67.（96，6分）设?,?是相互独立且服从同一分布律的两个随机变量，已知?的分布律为
P(??i)?13,i?1,2,3，又设X?max(?,?)，Y?min(?,?)。
（1）写出二维随机变量(X,Y)的分布律； （2）求随机变量X的数学期望E(X)。
解 （1）易见(X,Y)的可能取值为(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3). 二维随机变量(X,Y)的分布律见下表
Y X 1 1929292 0 19293 0 0 191 2 3 （2）先将表中各行相加，求得X的分布率为
X P 于是
E(X)?19?1?39?2?59?3?229.
1 1/9 2 3/9 3 5/9
68.（99，3分）设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则（ ）
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第40页 (共96页)
A．P(X?Y?0)?B．P(X?Y?1)?C．P(X?Y?0)?D．P(X?Y?1)?12121212
解 因为随机变量X和Y相互独立，它们又服从正态分布，所以X?Y与X?Y也都服从正态分布，且X?Y~N(1,2)，X?Y~N(?1,2). 由于
1?1212P(X?Y?1)??()??(0)?.
故选（B）.
69.（05，4分）设二维随机变量(X,Y)的概率分布
Y X 0 0.4 b 1 a 0 1 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则（ ） A．a?0.2,B．a?0.4,C．a?0.3,D．a?0.1,解 选（B）
70.（05，9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?1,f(x,y)???0,0?x?1,0?y?2x,otherwise,b?0.3 b?0.1 b?0.2 b?0.4
求：（1）(X,Y)的边缘概率密度fX(x)和fY(y)； （2）Z?2X?Y的概率密度fZ(z)。