概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第21页 (共96页)
解 根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：
(1) pij?P(X?i,Y?j)?
C2C7C1C310ijk,其中,i?j?k?3,i?0,1,2,j?0,1,2,3
k?0,1,可以计算出联合分布表如下
Y X 0 1 2 p?j 0 0 0 1 0 2 3 pi? 21/120 35/120 56/120 14/120 42/120 0 56/120 0 0 8/120 1/120 7/120 1/120 21/120 63/120 35/120
(2) X,Y的边缘分布如上表
(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y不相互独立.
28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取
一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X＋Y>6)
解 (1) X,Y可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为：
Y X 2 3 4 p?j 222 A2/A9?1/36 A3A2/A9?1/12 A4A2/A9?1/9 112112113 A2A3/A9?1/12 A3/A9?1/12 A4A3/A9?1/6 112222114 A2A4/A9?1/9 C3C4/A9?1/6 A4/A9?1/6 221122pi? 2/9 1/3 4/9 2/9 1/3 4/9
(2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)
=1/6+1/6+1/6=1/2.
29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为
x??y??F(x,y)?A?B?arctan??C?arctan?,
2??3??求：（1）系数A、B及C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y的边缘分布函
数及边缘概率密度；（4）随机变量X与Y是否独立？
解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第22页 (共96页)
???A??????A?????A??????A?????x????B?arctan??C???2??2?B?B?B?0??????y???C?arctan??02??3?
????C???02??2?????C???12??2?2???解得：A?1?,B?2?2,C??2,
(2) f(x,y)? 222?(4?x)(9?y)(3) X与Y的边缘分布函数为：
1??x?????1??x? FX(x)?F(x,??)?2??arctan???????arctan?
??22??22???22?1??????y?1??y??x?y??F(x,y)6?X与Y的边缘概率密度为：
2 fX(x)?FX'x (?)2?(x?4) fY(y)?FY'(y?)
?(y?9)2FY(y)?F(??,y)?2?????arctan????arctan?
2??23???22??23(4) 由(2),(3)可知：f(x,y)?fX(x)fY(y), 所以X，Y相互独立.
30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
?e-(x+y),f(x,y)??0,?0?x???,其他
（1）求分布函数F(x, y)；
（2）求(X，Y)落在由x＝0，y＝0，x＋y＝1所围成的三角形区域G内的概率. 解 (1) 当x>0, y>0时， F(x,y)? 否则，F(x, y) = 0.
(2) 由题意，所求的概率为
P((x,y)?G)???0yx0e?(u?v)dudv?(1?e)(1?e?x?y)
??G1?x0f(x,y)dxdy
?
e?(x?y)?10dx?dy?1?2e?1?0.2642
31. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?Ae-(3x+4y),f(x,y)??0,?x?0,y?0,其他
求：（1）常数A；（2）X，Y的边缘概率密度；（3）P(0?X?1,0?Y?2).
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第23页 (共96页)
解 (1) 由联合概率密度的性质，可得
??????????f(x,y)dxdy?1???0????0Ae?(3x?y4dxdy?A/12
)解得 A=12.
(2) X, Y的边缘概率密度分别为：
fX(x)??????????12e?(3x?4y)dy?3e?3x,?f(x,y)dy???0?other?0,???12e?(3x?4y)dx?4e?4y,?f(x,y)dx???0?other?0,x?0
fY(y)?????y?0
(3) P(0?x?1,0?y?2)
???021012e?3?(3x?4y)dxdy)
?(1?e)(1?e?8
32. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
xy?2,?x?f(x,y)??3?0,?0?x?1,0?y?2,其他
求 P(X＋Y≥1).
解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G中, 则
P((x,y)?G)?1010??G21?xf(x,y)dxdy2????dx?4x3x?x2?xy35x6dy3 65722?dx?
33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率
密度及边缘概率密度.
解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G的面积A为：
A???Gf(x,y)dxdy??10dx?2dy??(x?x)dx?x0x1216,
(X, Y)的联合概率密度为：
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第24页 (共96页)
f(x,y)???6,?0,0?x?1other.
X,Y的边缘概率密度为：
???? fX(x)???x2(?x),?0x???6dy?6xfx(y,dy)??x?other?0,?y6dy?6(?f(x,y)dx???y??0,y?y),other0?y?121
fY(y)??????
34. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y的概率密度是 ?5e?5y,????y?0fy(y)??
y?0?0,求：（1）X和Y和联合概率密度； （2）P(Y≤X).
解 由于X在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以fX(x)?1/0.2?5
(1) 由于X，Y相互独立，因此X, Y的联合密度函数为：
?25ef(x,y)?fX(x)fY(y)???0,?5yy ,y?0,0?x?0.2othery=x
(2) 由题意，所求的概率是由直线x=0, x=0.2, y=0, y=x所围的区域， 如右图所示， 因此
P(Y?X)?0 0.2 x
?5?0.20??Gf(x,y)dxdy??1?0.20dx?25e0x?5ydy
1?e?5xdx?1?e?1?e?1
35. 设（X，Y）的联合概率密度为
?1?,????0?x?1,0?y?2f(x,y)??2
?0,其他?1求X与Y中至少有一个小于的概率.
2解 所求的概率为
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11??P?(X?)?(Y?)?22??11???1?P?X?,Y??22? ??1??1???0.51????0.5f(x,y)dxdydxdy?58??0.520.51236. 设随机变量X与Y相互独立，且
X －1 1 3
P
12 Y －3 P
141
34
15
310
求二维随机变量（X，Y）的联合分布律.
解 由独立性，计算如下表
X Y -3 1 pi? -1 1/8 3/8 1/2 1 1/20 3/20 1/5 3 3/40 9/40 6/20 p?j 1/4 3/4
37. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
X 1 2 3 Y
1
16
19
118
2 a b c
（1）求常数a，b，c应满足的条件；
（2）设随机变量X与Y相互独立，求常数a，b，c. 解 由联合分布律的性质，有：
12?a?b?c?1, 即 a + b + c =1??
691833111 又，X, Y相互独立，可得 a:b:c?::
6918121 从而可以得到： a?,b?,c?
399
1?1?1
38. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为