概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第26页 (共96页)
?x2,????x?0,y?1,?21?x?23?xyF(x,y)??,????x?0,0?y?1, 2?1?x????0,?????????其他，??求边缘分布函数Fx(x)与Fy(y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数
22?xx?,x?0?lim FX(x)?F(x,??)??y???1?x21?x2?0,x?0?
下面计算FY(y)
??0,?23xy?3?y, FY(y)?F(??,y)??lim2x???1?x?2?x?1,?xlim2????1?xy?00?y?1 y?1 可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y相互独立.
39. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
?21?y?3e,????x?1,y?1 f(x,y)??x?0,?????????其他，?求边缘概率密度fX(x)与fY(y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立. 解 先计算fX(x), 当x<1时, fX(x)?0 当x≥1时, fX(x)????2x1e31?ydy??2x3e1?y??1?2x3
再计算fY(y), 当y<1时, fY(y)?0 当y≥1时, fY(y)????2x31e1?ydx??1x2e1?y??1?e1?y
可见, f(x,y)?fX(x)fY(y), 所以随机变量X, Y相互独立
40. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第27页 (共96页)
?x?y,???????x?y??? f(x,y)??0,?????????其他，?求边缘概率密度fX(x)与fY(y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立. 解 先计算fX(x), 当x<0或者x>1时, fX(x)?0 当1≥x≥0时, fX(x)??10x?ydy?xy?12y210?x?12
再计算fY(y), 当y<0或者y>1时, fY(y)?0 当1≥y≥0时, fY(y)??10x?ydx?xy?12x210?y?12
由于f(x,y)?x?y?fX(x)fY(y)??x???1??1?y????, 所以随机变量X,Y不独立 2??2?41. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
?2e?x?2y,?????x?0?y?0f(x,y)??
?0,?????????其他求随机变量Z＝X－2Y的分布密度. 解 先求Z的分布函数F(z)
F(z)?P(Z?z)?P(X?2Y?z)?
??D:X?2Y?zf(x,y)dxdy
y Dx?2y=z zy
0x当z<0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x?2y≤z}
求得F(z)?????z2dy?ez?2y02e?x?2ydx
12z?2????z2?2y?e?4y?zdy?e
当z≥0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x?2y≤z}，
F(z)?D0z ???0dy?ez?2y02e?x?2ydx
12e?zx?2y=z x?2???0?2y?e?4y?zdy?1?
由此, 随机变量Z的分布函数为
1?z?1?e,??2F(z)???1ez,??2z?0
z?0因此, 得Z的密度函数为：
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第28页 (共96页)
?1?ze,??2f(z)???1ez,??2z?0z?0
42. 设随机变量X和Y独立，X～N(???2)，Y服从［－b，b］(b>0)上的均匀分布，求
随机变量Z＝X＋Y的分布密度. 解 解法一 由题意，
F(z)??????fX(z?y)fY(y)dy??b?b12???(z?y?a)2e2?2?12bdy
令(z?y?a)/??t,dy???dt,y?[?b,b],则 F(z)??2b?????1z?b?a?z?b?a12??t2e2dt?12b???z?b?a?b?a????z????
?解法二
F(z)???fX(x)fY(z?x)dx,-b 43. 设X服从参数为 11的指数分布，Y服从参数为的指数分布，且X与Y独立，求Z＝X23＋Y的密度函数. x?0x?0???0,?0,解 由题设，X~fX(x)???1x, Y~fY(y)???1x 1132???2e,x?0?3e,x?0并且，X，Y相互独立，则FZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx 由于fX(x)仅在x>0时有非零值，fY(z?x)仅当z?x>0，即z>x时有非零值，所以当z<0时，fX(x)=0, 因此fZ(z)=0. 当z>0时，有0>z>x, 因此 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第29页 (共96页) FZ(z)???1z012ze6?1x213e?1(z?x)3dx ?z2?60e?1x?z3dx?e?z3?e 44. 设（X，Y）的联合分布律为 X Y 0 0 0 1 2 3 0.05 0.08 0.12 1 0.01 0.09 0.12 0.15 2 0.02 0.11 0.13 0.12 求：（1）Z＝X＋Y的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y）的分布律. 解 (1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06 P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y的分布如下 Z p 同理，U=max(X,Y)的分布如下 U∈{0,1,2,3} U p 同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V∈{0,1,2} V p 0 1 2 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 4 5 0.06 0.19 0.35 0.28 0.12 0.15 0.46 0.39 0.28 0.47 0.25 45.（90，2分）已知随机变量X的概率密度函数 f(x)?12e?|x|,???x???, 则X的概率分布函数F(x)? 解 当x?0时， 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第30页 (共96页) F(x)??x??f(t)dt??0x12??edt?t1212e. x当x?0时， F(x)??0??f(t)dt??x0f(t)dt??12??edt?t?x0edt?1??t12e?x. 因此，X的概率分布函数为 ?1xx?0?2e, F(x)??1?x?1?e,x?02? 46.（97，7分）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是律. 解 可以看出随机变量X服从二项分布B(3,2/5)，其概率分布为 k2k33?kP(X?k)?C3()(),k?0,1,2,3 5525，设X为遇到红灯的次数，求随机变量X的分布 于是随机变量X的分布律为 X P 47.（02，3分）设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则（ ） A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度 B．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数 D．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数 解 首先可以否定选项（A）和（C），因为 0 27/125 1 54/125 2 36/125 3 8/125 ?????(f1(x)?f2(x))dx?2?1, F1(??)?F2(??)?2?1. ?1,?2?x??1?1,对于选项（B），若f1(x)??，f2(x)??0,otherwise??0, 0?x?1otherwise，则对任何x，