拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
EAMHFNBG图4
C
【解题思路】第（1）题易知△ABC≌△A′C′D，所以BC=A′D，∠CAC′=180°-∠DAC′-∠BAC=90°；第（2）题可以利用（1）题思路证Rt△ABG≌Rt△EAP和Rt△ACG≌Rt△FAQ，可得EP、AQ都等于AG；第（3）题将全等迁移到相似，根据第（2）题图形暗示构造辅助线，过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．证Rt△ABG∽Rt△EAP和Rt△ACG∽Rt△FAQ，得到EP=FQ，再证Rt△EPH≌Rt△FQH即可.
【答案】解：情境观察 AD（或A′D），90
问题探究
结论：EP=FQ.
证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸
结论： HE=HF.
理由：过点E作EP⊥GA，PFQ⊥GA，垂足分别为P、Q. EH∵四边形ABME是矩形， FQ AMNBGC
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP. ∵∠AGB=∠EPA=90°，
AGAB
∴△ABG∽△EAP，∴ = .
EPEAAGAC
同理△ACG∽△FAQ，∴ = . FPFAABAC
∵AB=k AE，AC=k AF，∴ = =k，
EAFA
AGAG∴ =. ∴EP=FQ. EPFP
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.
【点评】此题属于探究型问题，考查了三角形全等、相似方面的知识。解决探究型问题时要认真审题，充分利用转化、类比等方法找到小题之间的内在联系，找到解题思路．难度中等．
4．如图15，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB． ⑴求该抛物线的解析式；
⑵抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
图15
AOyPCMBx⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）把A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解出a、b、cj即可；因为A、B是抛物线与x轴的交点，也可以把抛物线设成y=a（x+1）（x-3），然后代入C得坐标。 （2）若使△QMB与△PMB的面积相等，须等底等高，因此考虑和BC平行的直线PQ和l，求出它们的解析式，在求它们与二次函数的交点，就是点Q的坐标；
（3）（图b）要使△RPM与△RMB的面积相等，须等底等高，MR要是底的话，点P、B到MR的距离PN抽查（图中没有画出来）=BD，易证三角形PNE与三角形BDE全等，因此PE=BE，点M为PF的中点，E为PB的中点，因此ME与x轴平行，点M与N重合，把y=2代入二次函数即可求点R的横坐标（舍掉不符合题意的那个）。
F
F
图b
图a
?0?a?b?c?a??1??【答案】（1）依题可知?0?9a?3b?c 解得?b?2 所以抛物线的解析
?3?c?c?3??式为y= -x2+2x+3
（2）（图a）y= -x2+2x+3可变形为y???x?1?2?4，所以顶点坐标P（1,4）
设 BC的解析式为y?kx?b∵B（3，0）、C（0，3）∴??k??1 ∴y??x?3 ?b?3??3?b ∴
?0?3k?b∴点M的纵坐标y=-1+3=2，即M（1,2）设对称轴与x轴的交点为F，∴PM=MF，∴S△PMB=S△FMB
∵△QMB与△PMB的面积相等，∴点Q在过点P且平行于BC的直线a上或过点F且平行于BC的直线b上，
设a的解析式为y??x?b1，则4??1?b1，即b1?5，∴y??x?5 设b的解析式为y??x?b2，则0??1?b2，即b2?1，∴y??x?1 设a与抛物线相交于Q（m，-m+5），b与抛物线的交点Q’（n，-n+1），则?m?5??m2?2m?3
解得m1?1?舍去?，m2?2,?点Q的坐标为?2,3? 得n1?n2?3?17 2?n?1??n2?2n?3 解
?3?17?1?17?3?17?1?173?17? ,)或?,，∴点Q’的坐标为(??22222??(综上，满足条件的Q的坐标有三个，分别是（2，3）、?3?17?1?17??? ?2,?2??3?17?1?17,)、22（3）存在，点R的坐标为（2?1，2）．
【点评】第一问灵活地考查二次函数解析式的求法——待定系数法，两种方法难度较小；第二问难度较大，不容易想到第二个和第三个Q，利用到等底等高的两个三角形面积相等，很自然地想到平行线间的距
离相等．求BC的两条平行线的解析式时，要用到“在坐标系中，平行线的k值相等”．求交点的方法就是连方程组，解方程组．难度较大．第三问是拔高题．
5.已知：如图1，图形① 满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°。图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）。记AB的长度为a，BM的长度为b
⑴图形①中∠B= °，图形②中∠E= °； ⑵小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”。
①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片 张；
②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a?b，IQ=JQ。请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹不。（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）