3-1-2相遇与追及问题
教学目标
1、 根据学习的“路程和＝速度和× 时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题 2、 研究行程中复杂的相遇与追及问题
3、 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 4、 培养学生的解决问题的能力
知识精讲
一、相遇
甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即S和=V和t
二、追及
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.
这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间.
一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即S差=V差t
例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为v甲和v乙，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米
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三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：
(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。 ?总路程=速度和?相遇时间?相遇问题?速度和=总路程?相遇时间?相遇时间=总路程?速度和??追及时间=追及路程?速度差?追及问题?追及路程=速度差?追及时间?速度差=追及路程?追及时间?
模块一、直线上的相遇与追及问题
【例 1】 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行
48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？
【解析】 本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）
×3.5=94×3.5=329（千米）．
【巩固】 两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时
行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
【解析】 根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135
（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）.
【例 2】 大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，
他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？
（60?24）?2?42(米【解析】 大头儿子和小头爸爸的速度和：3000?50?60(米/分钟)，小头爸爸的速度：
/分钟)，大头儿子的速度：60?42?18(米/分钟)．
【巩固】 聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42
米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？
【解析】 方法一：由题意知聪聪的速度是：20?42?62(米/分)，两家的距离?明明走过的路程?聪聪走
过的路程?20?20?62?20?400?1240?1640(米)，请教师画图帮助学生理解分析．
？聪聪20分钟后相遇明明
注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：S和?v和t．对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解及应用公式．
（20?62）?20?1640(米)． 方法二：直接利用公式：S和?v和t?3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 2 of 24 【例 3】 A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包
子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米？
【解析】 包子的速度：90?30?3(米／秒)，菠萝的速度：90?15?6(米／秒)，相遇的时间：
90?(3?6)?10(秒)，包子距B地的距离：90?3?10?60(米)．
【巩固】 甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，
乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？
【解析】 要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是360?4?90（千米／时），乙
车的速度是360?12?30（千米／时），则相遇时间是360?(90?30)?3（小时）．
【例 4】 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙
车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．
【解析】 这题不同的是两车不“同时”．
（法1）求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．48?(1?5)?288（千米），50?5?250（千米），
288?250?538（千米）．
（法2）还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程．
538（千米）(48?50)?5?490（千米），490?48???．
【巩固】 甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，
乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【解析】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时
所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：41?2?82(千米)，甲、乙两车同时相对而行路程：770?82?688(千米)，甲、乙两车速度和：45?41?86(千米／时)， 甲车行的时间：688?86?8(小时)．
【巩固】 甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每小时行22千米，
乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【解析】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时
所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：22?2?44(千米)，甲、乙两车同时相对而行路：144?44?100(千米)，甲、乙两车速度和：28?22?50(千米)，与乙车相遇时甲车行的时间为：100?50?2(小时)．
【巩固】 妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米．妈妈走了3分钟后，小红从学校出发，小
红每分钟走60米．再经过20分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？
【解析】 妈妈先走了3分钟，就是先走了75?3?225（米）．20分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和
????2700（米）小红共同走了20分钟，这一段的路程为：(75?60)??20，这样妈妈先走的那一段路
程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离．即
(75?3)?(75?60)?20?2925（米）．
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 3 of 24 【巩固】 甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行50千米，
客车每小时行70千米．客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？
【解析】 因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时．如
果从总路程中把货车单独行驶1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以
(530?50)?(50?70)?480?120?4分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间：（小
时）相遇时客车行驶的路程:70?4?280(千米)相遇时货车行驶的路程：50?(4?1)?250（千米）．
【巩固】 甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每
小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？ （?（37?36）?4(小时)． 【解析】 366?37?2）
【例 5】 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B地出发，乙车出
发5小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．求A、B两地间相距多少千米？
【解析】 题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况。画线段图如下：
由图中可以看出，甲行驶了3?5?8(小时)，行驶距离为：48?8?384(千米)；乙行驶了5小时，
行驶距离为：50?5?250(千米)，此时两车还相距15千米，所以A、B两地间相距：384?250?15 ?649(千米)
（48?50）?5?490(千米)，A、B两地间相距：490?48?3 也可以这样做：两车5小时一共行驶：
?15?649(千米)，所以，A、B两地间相距649千米．
【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距
141千米；出发后5小时，两车相遇．A、B两地相距多少千米？
【解析】 公式“相遇时间?路程和?速度和”中，对于速度不变的两车，“相遇时间”与“路程和”是一一对应
的．如图所示
A5小时相遇5小时2小时B2小时141千米
5小时的相遇时间与A、B两地的距离相对应，(5?2)小时的相遇时间与141千米相对应.两车的
（5?2）?47(千米/时).A、B两地相距：47?5?235(千米) 速度之和是：141?
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 4 of 24 【例 6】 两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在
途中每列车先后各停车4次，每次停车15分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？
【解析】 每列车停车时间：15?4?60（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：7?1?6小
时，速度和：40?45?85（千米），两城距离：85?6?510（千米）．
【巩固】 两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途
中每列车先后各停车5次，每次停车12分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？
12?5?60（分）【解析】 每列车停车时间：=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：7?1?6小时，速度和：40?45?85（千米），两城距离：85?6?510（千米）．
【例 7】 甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时
行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？
??160（千米）【解析】 ①4小时后相差多少千米：(340?300)??4．②甲机提高速度后每小时飞行多少千米：
160?2?340?420（千米）．
【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同
时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?．
【解析】 两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．
【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车
同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发3小时他们相距多少千米？
【解析】 两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，(50?60)?3?330（千米）．
【巩固】 两列火车从相距80千米的两城背向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，
5小时后，甲、乙两车相距多少千米？
【解析】 因为是背向而行，所以每过1小时,两车就多相距40?42?82(千米),则5小时后两车相距是：
(40?42)?5?80?490（千米）． 【巩固】 两列火车从相距40千米的两城背向而行，甲列车每小时行35千米，乙列车每小时行40千米，5小时后，甲、乙两车相距多少千米？
【解析】 因为是背向而行，所以两车5小时后的距离是：(35?40)?5?40?415（千米）。
【例 8】 两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，
当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？
【解析】 甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而
行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时 乙到达目标时所用时间：900?100?9(分钟)，甲9分钟走的路程：80?9?720(米)，甲距目标还有：900?720?180(米)，相遇时间：180?(100?80)?1(分钟)，共用时间：9?1?10(分钟)．
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