【解析】
甲AFEB乙第一次相遇第一次追上
由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100?80?20(分钟)内所走的路程恰等于
线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在(80?100)分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(?180?20)，则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80?(1?9)?800(分
钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟(?100?2)，所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．
【巩固】 甲、乙两地之间有一条公路．李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲
地，80分钟后两人在途中相遇．张平到达甲地后马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明．张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去．问：当李明到达乙地时，张平共追上李明多少次？
【解析】 我们希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的时间，进而确定整个过程的进展，并得
到答案．但知道这些并不够．应先分析什么是“追上”．如图，当两人经过80分钟相遇时，两人所走的路程之和恰是甲乙两地指间的距离，因此两人才能相遇．如图所示：
甲AC相遇第一次追上D乙B张平李明
第一次追上就是张平比李明多走了一个甲、乙两地距离．这用了80?20?100分钟．以此类推，第二次相遇的情况从图上可以看出来，使张平比李明多走了3个甲、乙之间距离；第三次相遇，是张平比李明多走了5个甲乙之间距离……所以，知道了张平的速度是李明的几倍，也就知道在李明走完一个甲乙之间距离的时候，张平走了几个甲乙之间距离，他比李明多走了几个．这样就可求出当李明到达乙地时，张平追上了他几次．C是两人相遇地点，D是张平第一次追上李明的地点．要分析如何求出两人速度的倍数关系．在从相遇到第一次追上这20分钟内，张平从C走到A再走到D，即CA?AD．CA也就是AC，是李明相遇前的路程，即李明80分钟走的；AD是李明第一次被追上时已走的路程，即他80?20?100分钟走的．因此，张平20分钟走的路程AC?AD，是李明80?100?180分钟走的，也就是说，张平的速度是李明的9倍．当李明从甲到乙时，张平走了9个这样的距离，即比李明多走了8个从甲到乙的距离．比李明多走1个AB时，张平第一次追上李明；多走3个时，第二次追上；多走5个时，第三次追上；多走7个时，第四次追上．综上所述，在李明从甲到乙的过程中，一共被张平追上4次．
【例 42】 （这道题就是之前介绍过的苏步青教授利用巧妙方法解决过的一个问题，当时苏步青教授在德
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 21 of 24 国访问，一位有名的德国数学家在电车上给他出了这道题）甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100里，甲每小时走6里，乙每小时走4里．如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住．这只狗共跑了多少里路？
【解析】 只从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间．但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从
开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同．由此便能求出答案．狗一共跑了100??6?4??10（小时）所以狗跑的距离为10?10?100（千米）
注：有时我们遇到的应用题往往无法用直接的方法列式解决，甚至看起来好像条件不足．这个时候我们就需要停下来问问自己：是否应该换个角度思考？尝试这样思考，一方面能让我们对一些原本无法解答的题目豁然开朗，更可以让自己的头脑在锻炼中变得越来越聪明．
【巩固】 A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小
时行45千米，一只燕子以每小时行50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车返飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？
【解析】 由燕子和两车同时开始飞行和同时停止，故燕子飞行的时间和两车相遇的时间相等，480÷（35+45）
=6小时。燕子飞行的路程：50 ×6=300千米
【巩固】 小新和阿呆各骑一辆自行车从相距32千米的两个地方沿直线相向而行，在他们同时出发的那一
瞬间，一辆自行车把上的一只小鸟开始向另一辆自行车径直飞去，它一到达另一辆自行车的车把，就立即转向往回飞行，这只小鸟如此在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到小新和阿呆相遇为止.如果小新每小时行驶17千米，阿呆每小时行驶15千米，小鸟每小时飞行24千米，那么小鸟总共飞行了多少千米？
【解析】 由小鸟和两车同时开始飞行和同时停止，故小鸟飞行的时间和两车相遇的时间相等，32÷（17+15）
=1小时。燕子飞行的路程：24×1=24（千米）.
【巩固】 在一次宴会上，一位客人给著名的数学大师、“计算机之父”冯·诺伊曼先生出了一个蜜蜂问题：
两列火车相距100英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时50英里．火车A的前端有一只蜜蜂以每小时100英里的速度飞向火车B，遇到火车B以后．立即回头以同样的速度飞向火车A，遇到火车A后，又回头飞向火车B，速度始终保持不变，如此下去，直到两列火车相遇时才停止．假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计，那么，这只蜜蜂一共飞了多少英里的路？
【解析】 因为两列火车相距100英里，以每小时50英里的速度相向而行．所以，他们相遇时所经过的时间
是1小时，而蜜蜂在这段时间内，不停地在两列火车之间往返飞行，蜜蜂飞行的全部时间正好是两行火车相遇的时间，所以，蜜蜂在这1小时内，正好飞行了100英里．
【巩固】 阿呆和阿瓜同时从距离20千米的两地相向而行，阿呆每小时走6千米，阿瓜每小时走4千米． 阿
瓜带着一只小狗，狗每小时走10千米．这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，它就掉头朝阿瓜这边走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米？
（6?4）?2(小时)，狗共跑路程为：10?2?20(千米)． 【解析】 阿呆和阿瓜两人相遇时间为：20?
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 22 of 24 【例 43】 甲、乙两人分别从相距 35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行 4 千米，但每行 30 分
钟就休息 5 分钟；乙每小时行 12 千米，则经过________小时________分的时候两人相遇． 【解析】 经过 2 小时 15 分钟的时候，甲实际行了 2 小时，行了 4×2=8千米，乙则行了12?21?27千4米，两人还相距 35.8－27－8=0.8千米，此时甲开始休息，乙再行 0.8÷12×60=4分钟就能与甲相遇．所以经过 2 小时 19 分的时候两人相遇．
【例 44】 一个圆的圆周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行．这两只蚂蚁
每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头．如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、……，即是一个由连续奇数组成的数列．问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？
【解析】 (法1)找路程规律．通过处理，找出每次爬行缩小的距离关系规律．两只蚂蚁相距1.26?2?0.63米
?63厘米，相向爬行1秒距离缩小5.5?3.5?9(厘米)．如果不调头，需要63?9?7(秒)相遇； 第1轮爬行1秒，假设向上半圆方向爬，距离缩小9?1厘米；
第2轮爬行3秒，调头向下半圆方向爬，距离缩小9??3?1??9?2厘米； 第3轮爬行5秒，调头向上半圆方向爬，距离缩小9??5?2??9?3厘米；……
每爬行1轮距离缩小9?1厘米，所以爬行7轮后相遇，时间是1?3?5???13?49(秒)． (法2)对于这种不断改变前进方向的问题，可以先看简单的情况：
在一条直线上，如上面的图形，一只蚂蚁先从O点出发向右走，然后按照经过1秒、3秒……改变方向．由于它的速度没有变化，可以认为蚂蚁每秒钟走一格． 第一次改变方向时，它到A1，走1格，OA1?1格； 第二次改变方向时，它到A2，走3格，OA2?2格； 第三次改变方向时，它到A3，走5格，OA3?3格； 第四次改变方向时，它到A4，走7格，OA4?4格； 第五次改变方向时，它到A5，走9格，OA5?5格．
不难发现，小蚂蚁的活动范围在不断扩大，每次离O点都远了一格．当两只蚂蚁活动范围重合时，也就是它们相遇的时候． 另外从上面的分析可以知道，每一次改变方向时，两只蚂蚁都在出发点的同一侧．这样，通过相遇问题，可以求出它们改变方向的次数，进而求出总时间． 由于每一次改变方向时，两只蚂蚁之间的距离都缩短5.5?3.5?9厘米．
所以，到相遇时，它们已改变方向：1.26?100?2?9?7次，也就是在第7次要改变方向时，两只蚂蚁相遇，用时：1?3?5???13?49(秒)．
A4A2OA1A3A5
【巩固】 老师教同学们做游戏：在一个周长为114米的圆形跑道上，两个同学从一条直径的两端同时出
发沿圆周开始跑，1秒钟后他们都调头跑，再过3秒他们又调头跑，依次照1、3、5……分别都
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 23 of 24 调头而跑，每秒两人分别跑5.5米和3.5米，那么经过几秒，他们初次相遇？
【解析】 与例题的分析过程类似，可以知道，每跑1轮距离缩小9?1米，由于两个同学最开始相距57米，
小于例题中的63米，而又大于54米，所以两人在第七次掉头后相遇，而且没有走完第七次掉头
2的13秒，相遇时比13秒少走了?63?57???5.5?3.5??秒，所以他们初次相遇时经过了
349?21?48秒． 33
【例 45】 某条道路上，每隔900米有一个红绿灯．所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换．一辆汽车通过第一个红绿灯后，以每小时多少千米的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？
【解析】 因为红绿灯变换的时间周期是30?5?25?60（秒），所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿
灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒．换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯．因此，汽车应以每小时900?60?3600?1000?54（千米）的速度行驶．
课后练习
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