模块二、终（中）点问题
【例 32】 夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中
点50米处相遇，求两地的距离是多少米？
【解析】 根据题意，画线段图如下：
从图中可以看出(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)，因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：夏夏所行路程?全程一半?50米 ，冬冬所行路程?全程一半?50米 ；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了50?2?100(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：（60?50）?10?1100(米)．
【巩固】 甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少
行3千米．两地相距多少千米？
【解析】 两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距(5+4)×3=27千米
【巩固】 夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，
问两人在距两地中点多远处相遇？
【解析】 两个人的相遇时间为：1100?(50?60)?10（分钟），所以相遇时东东走了：60?10?600（米），
两个人距离中点距离为：600?1100?2?50（米）
【巩固】 王老师从甲地到乙地，每小时步行5千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4千米．两人同
时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离．
【解析】 画一张示意图(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)
1千米中点甲A乙
离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，王老师走了两地距离的一半多1千米，张老师走
了两地距离的一半少1千米．从出发到相遇，王老师比张老师多走了2千米，王老师比张老师每
2(小时)。因此，甲、乙两地的距)千米，从出发到相遇所用的时间是2?(5?4)???小时多走(5?4????18(千米)． 离是(5?4)??2??
【巩固】 甲乙二人同时分别自A、B两地出发相向而行，相遇之地距A、B中点300米，已知甲每分钟行
100米，乙每分钟行70米，求A地至B地的距离. 【解析】 相遇时甲比乙多行300?2?600（米），相遇时共用了600??100?70??20（分），A、B两地之
间的距离为?100?70??20?3400（米）.
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 16 of 24 【巩固】 李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人
相遇时距全程中点3千米．问全程长多少千米？
【解析】 李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了3?2?6(千米)．由
已知李明每小时比王亮多走18?16?2(千米)，李明比王亮多行6千米需要6?2?3(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程是：(18?16)?3?102(千米)．
【巩固】 树叶和月亮同时分别从两地骑车相向而行，树叶每小时行18千米，月亮每小时行16千米，两人
相遇时距全程中点5千米．问全程长多少千米？
【解析】 树叶走了全程的一半多5千米，月亮走了全程的一半少5千米，树叶比月亮实际多走了
5?2?10(千米)．已知树叶每小时比月亮多走18?16?2(千米)，那么树叶比月亮多行10千米需要10?2?5(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求了．全程：(18?16)?5?170(千米)．
【巩固】 蜡笔小新从家出发去超市找妈妈，小新妈妈从超市回家，他们同时出发，小新每分钟走45米，
小新妈妈每分钟走65米，他们在离中点60米的地方相遇了，求小新家到超市的距离是多少米？
【解析】 路程差：60?2?120(米)，速度差：65?45?20(米／分钟)，相遇所用的时间：120?20?6(分钟)，
家到超市的距离：(45?65)?6?660(米)．
【巩固】 甲、乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少
行3千米．两地相距多少千米？
【解析】 乙每小时比甲少行：5?4?1(千米)，由题意知，“两人相遇时乙比甲少行3千米”，说明两人行驶
3?（5?4）?3(小时)，（5?4）?3?27(千的时间为：已知速度和与相遇时间，可求路程．两地相距为：
米)．
【例 33】 小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑车他的三轮车每分钟行100米，5分
钟后小新已超过中点50米，这时二人还相距30米，正南每分钟行多少米？
【解析】 5分钟后小新比正南多走了50?2?30?130（米），所以每分钟多走：130?5?26（米），所以正
南每分钟走：100?26?74（米/分）
【例 34】 甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇
后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？
【解析】 建议教师帮助学生画图分析．
从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行70?60?10(千米)，120?10?12(小时)，说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时．
（60?70）?6?780(千米)． 那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 17 of 24 【例 35】 (明心奥数挑战赛)甲、乙二人从A，B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行
70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇．如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点220米处相遇．甲晚出发了多少分钟？
（80?70）?12(分)，因此甲、乙两地【解析】 同时出发，相遇时甲多走60?2?120(米)，相遇时间为120?80?70）?12?1800(米)．当甲晚出发一会儿时，两人各用时间分别为乙用时：距离为（（1800?2?220）?70?16(分)，甲用时：（1800?2?220）?80?8.5(分)， 所以甲比乙晚出发16?8.5?7.5(分)．
【例 36】 甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米．甲到少年宫后立
即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已经30分钟．问：甲、乙每分钟各走多少米？
【解析】 根据题意，画线段图如下：
方法一：30分钟内，二人的路程和S和?2400?2?4800(米)，因此速度和为：4800?30?160(米/分)；又知道30分钟甲的路程为：2400?300?2700(米)，所以甲速度为：2700?30?90
(米/分)，则乙速度为：160?90?70(米/分)．
方法二：30分钟内，甲的路程为2400?300?2700(米)，乙走的路程为：2400?300?2100(米)，
（2400?300）?30?70(米/分)． 因此甲的速度为：2700?30?90(米/分)，乙的速度为：
【例 37】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米．汽车每小时行48千
米．两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两车在距离中点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？
【解析】 第二次相遇距中点108千米，说明两车共有108?2?216(千米)的路程差，由此可知两车共行驶了：
216?（54?48）?36(小时)．又因为第二次相遇两车共走了三个全程，所以走一个全程用36?3?12(小时)．这样可以求出甲乙两地的路程是：（54?48）?12?1224(千米)．
模块三、行程间的倍比关系
【例 38】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进
到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．
【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 18 of 24 可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95?3?285(千米)，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95?3?25?285?25?260(千米)．
【巩固】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地90千米处相遇．相遇后继续前进
到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地30千米处相遇．求A、B两地间的距离？
【解析】 第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两
地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了90千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个90千米，即90?3?270（千米），而这270千米比一个A、B两地间的距离多30千米，可得：90?3?30?270?30?240 (千米)．
【巩固】 (第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，亮亮在A点，A 、B是一条道路的两端点，
明明在B点，两人同时出发，相向而行．他们在离A点100米的C点第一次相遇．亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求A 、B间的距离．要求写出关键的推理过程．
100米AC第4题D80米B
【解析】 第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了100米，从开始到第二次相遇，两人共走了三
个全程，则亮亮走了100?3?300(米)．亮亮共走的路程为一个全程多80米，所以道路长300?80?220（米）．
【巩固】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地80千米处相遇．相遇后继续前进
到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地20千米处相遇．求A、B两地间的距离？
【解析】 第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两
地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了80千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个80千米，即80?3?240（千米），而这240千米比一个A、B两地间的距离多20千米，可得：240?20?220(千米)．
【巩固】 (2007年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)甲、
乙二人同时分别从A、B两地出发，相向匀速而行．甲到达B地后立即往回走，乙到达A地后也立即往回走．已知他们第一次相遇在离A，B中点2千米处靠B一侧，第二次相遇在离A地4千米处．A、B两地相距多少千米？ 甲A42B乙
【解析】 如图所示，两人第一次相遇，合走一个全程，两人第二次相遇，合走三个全程．而两人速度不变，
这说明第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 19 of 24 是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相遇时，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇时，他应该走了3个半个全程多6千米，而实际他走了2个全程差4千米，即4个半个全程差4千米．因此，半个全程长6?4?10(千米)，A、B两地相距10?2?20(千米)．
【例 39】 甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千
米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达B、A两地后， 立即按原路原速返回．两车从开始到第二次相遇共用6小时．求A、B两地的距离？
【解析】 甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个AB间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到B、
A两地后，又共同行完一个AB间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个AB间的路程．因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行3个AB间的路程．甲、乙速度和：42?45?87(千米)，3个AB间路程：87?6?522(千米)，A、B相距：522?3?174(千米)．
【例 40】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的
地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【解析】 画一张简单的示意图：
4千米家小明爸爸4千米
?4(千米)．而爸爸骑的距离是 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明骑了8?4??4?8???12(千米)．
3倍．按照这个倍数计算，小这就可以知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12?4????24(千米)．?16(千明骑8千米，爸爸可以骑行8?3??但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4?12???8(千米)．摩托车的速度是8?8?1(千米/分)，爸爸骑行16千米需要16分米)，少骑行24?16???32(分钟)．所以这时是8点32分． 钟．8?8?16??
【巩固】 自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然
后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度．
【解析】 在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为(18?9)千米，而自行车
所走的路程为(18?9)千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍(?(18?9)?(18?9)??)；摩托
车与自行车的速度差是自行车速度的2倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了12分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程，所以追及时间等于12?2?6(分钟)；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6分钟内走
（18?9）（?18?9）?3倍，了9千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了．列式为：
12?（3?1）?6(分钟)，摩托车的速度为：9?6?1.5(千米/分钟)，自行车的速度为：1.5?3?0.5(千米/分钟)
【例 41】 A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于
A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 20 of 24