甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用了：8?2?6(小时)，此时路程差为：20?6?120(千米)，此时路程差就是甲车2小时的路程，所以甲车速度为：120?2?60(千米/小时)，A、B两地间的距离：60?8?480(千米) 方法二：如图：
假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：20?8?160(千米)，这段路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：160?2?80(千米/小时)，乙车到达时用了：8?2?6(小时)，A、B两地间的距离：80?6?480(千米)
【例 21】 龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟
每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题： 它们谁胜利了？为什么？
【解析】 ⑴ 乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40?10?4(分钟)就能到达终
点，而兔子离终点还有500米，需要500?100?5(分钟)才能到达，所以乌龟胜利了．
⑵ 乌龟跑到终点还要40?10?4(分钟)，而小兔跑到终点还要1000?2?100?5(分钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：100?1?100(米)．
【巩固】 上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，
它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？
【解析】 由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为10?5?50(米/分)，乌龟先跑10分钟，即兔子开
始跑时，乌龟已经跑了50?10?500(米)，还剩1000?500?500(米)，需要500?50?10(分钟)就可以到达终点，而兔子到达终点需要的时间是：1000?100?10(分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点．
【例 22】 军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”
舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？
【解析】 “我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000
米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 11 of 24 得追及时间.（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰.
【巩固】 (第二届“走进美妙数学花园”)在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行
驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？
【解析】 这是一道“追及问题”．根据追及问题的公式，追及时间?路程差?时间差．由题意知，追及时间
（60?60）为5秒钟，也就是5?小时，两车相距距离为路程差，速度差为108?90?18(千米/时)，
（60?60）?90000?3600?25(米)，所以，在也就是18?1000米/时，所以路程差为：18?1000?5?这辆车鸣笛时两车相距25米．
【例 23】 甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，
相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。
【解析】 相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是
120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米．
【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，
乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，A、B两地相距多少米？
【解析】 相遇时甲走了AB距离减去60?3?180(米)，乙走了AB距离加上180米，乙比甲多走了360米，
（90?60）?12(分钟)才能达到，这12分钟两人一共行走了12?（90?60）这个路程差需要360?
?1800米．所以AB距离为1800?2?900米．
【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，
乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，A、B两地相距多少米？
【解析】 相遇时甲走了AB距离减去60?3?180(米)，乙走了AB距离加上180米，乙比甲多走了360米，
（90?60）?12(分钟)才能达到，这12分钟两人一共行走了12?（90?60）这个路程差需要360?
?1800米．所以AB距离为1800?2?900(米)．
【例 24】 甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时
甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地?
【解析】 由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程．相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋
80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A，B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行 70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米．行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 12 of 24 【例 25】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中
的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远?
【解析】 因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少
走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．
【巩固】 小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分
钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇．有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？
【解析】 因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走
了(60?40)?9?900（米），所以小明比平时早出门900?60?15（分）． 【例 26】 小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？
【解析】 小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就
是追及时间，据此可求出他们的速度差为20?5?4(米/秒)；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4?6?24(米)，也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．综合列式计算如下：小蓝的速度为：20?5?6?4?6(米/秒)，小红的速度为：6?4?10(米/秒)
【巩固】 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则
甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？
【解析】 若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的
速度差为10?5?2(米/秒)；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2?4?8(米)，也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．综合列式计算如下：乙的速度为：10?5?4?2?4(米/秒)，甲的速度为：10?5?4?6(米/秒)
【巩固】 甲、乙二人沿着同一条100米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后8米处起跑，当甲离终
点还有12米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？
【解析】 甲、乙两人的运动时间相同，所以，甲的路程?甲的速度?乙的路程?乙的速度，而甲、乙的速
度都不变，所以，乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍
乙 8起点100米甲12终点
由图可知，甲跑100?12?88(米)，乙跑88?8?96(米)，所以当乙跑8?100?108(米)时，甲跑：108?96?88?99(米)，即当乙跑到终点时，甲离终点还有100?99?1(米)
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 13 of 24 【例 27】 刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的
速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
【解析】 这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求
速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．
【巩固】 王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走
50米，就要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？
【解析】 设从教室去图书馆闭馆时所用时间是x分钟
70（x?2）?50（x?2）70x?140?50x?100
70x?50x?100?140x?1270?（12?2）?700（米）
答：教室到图书馆的路程有700米．
【例 28】 （2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛）甲、
乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分，下山的速度都是30米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇。山道长 米。
【解析】 甲、乙两人相遇后如果甲继续行走480?20?24（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么
这个时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚，也就是距离山脚还有30?30?900（米）（20?30）?900?1200?2100（米），所以山顶到山脚的距离为900?24?。
【巩固】 (北京市2006年迎春杯试题)小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每
小时60千米．小王步行，速度为每小时4千米．如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10点整遇到正在前往乙地的小王．那么甲、乙两地之间的距离是 千米．
【解析】 因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离，而这个过程中小张开车1个小时，小
王步行2个小时，他们一共所走的路程是：60?1?4?2?68(千米)，所以甲、乙两地之间的距离是：68?2?34(千米)．
【例 29】 (2003年明心奥数挑战赛)如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A．甲在路口A南边560
米的B点，乙在路口A．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距A的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 14 of 24 1.
【解析】 本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程．那么甲、乙
两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：560?4?140 (米/分)。第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了A点，且在A点以北走的路程?乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了4?24?28(分钟)，两人的速度差：560?28?20(米/分)，甲速?乙速?140，显然甲速要比乙速要快；甲速?乙速?20，解这个和差问题，甲速?（140?2）0?2?80/分)，乙速?140?80?60(米/分)． (米
【例 30】 (第六届“走进美妙的数学花园\中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)早晨，小
张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨_________出发．
【解析】 由“下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”可知：两
人的速度差是每小时30千米，由3点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程，在这
)千米，故小张的速度是15千一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走(15?30??米/小时，小王的速度是45千米/小时．全程是45?3?135(千米)，135?15?7?2(小时)，即上午
10点出发．
【例 31】 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向
而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.
【解析】 先画图如下：
若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分），（80+50）×6＝130×6=780（米）
【巩固】 小叶子上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟，如果往返都步行，则全程需要70分钟，求
往返都骑车所需的时间是多少？
【解析】 一个单程步行比骑车多用70?50?20（分钟），骑车单程(50?20)?2?15（分钟），往返骑车的
时间15?2?30（分钟）．
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 15 of 24