第一节 随机事件与概率
一、随机事件及其运算
1、随机试验与随机事件
2、随机事件之间的关系及其运算
事件的包含与相等，事件的和(并)，事件的积（交），事件的差，互不相容事件，对立事件
二、古典概型及概率
A的有利场合数|A|?1、古典概型及概率 P(A)?
基本事件总数|?|
三、加法公式与乘法公式
1. 概率的加法公式： P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
2. 概率的乘法公式
P(AB)⑴ 条件概率：P(B|A)?
P(A)概率统计复习
乘法公式：
P(AB)?P(A)P(B|A),若P(A)?0?P(B)P(A|B),若P(B)?0
⑵ 全概率公式：P(B)??P(Ak)P(B|Ak)
k
贝叶斯公式：P(Ak|B)?P(Ak)P(B|Ak)
?P(Ak)P(B|Ak)k四、事件的独立性
⑴ 事件的独立性：P(AB)?P(A)P(B)?A与B独立
⑵ 贝努利概型（独立试验概型）：
kn?kPn(k)?Ckpq,(k?0,1,...,n;p?q?1) n
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例题选讲：
例1甲，乙，丙三人各射一次靶，记A?“甲中靶” B?“乙中靶” C?“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： A; (2) “甲中靶而乙未中靶”： AB; (3) “三人中只有丙未中靶”： ABC; (4) “三人中恰好有一人中靶”： ABC?ABC?ABC; (5)“ 三人中至少有一人中靶”： A?B?C;
(6)“三人中至少有一人未中靶”： A?B?C;或ABC; (7)“三人中恰有兩人中靶”： ABC?ABC?ABC; (8)“三人中至少兩人中靶”： AB?AC?BC; (9)“三人均未中靶”： ABC; (10)“三人中至多一人中靶”： ABC?ABC?ABC?ABC; (11)“三人中至多兩人中靶”： ABC;或A?B?C;
例2 P(AB)?0.2, P(B)?0.4, 求
(1) P(AB); (2) P(A?B); (3) P(A?B); (4) P(AB).
解 (1) 因为AB?AB?B, 且AB与AB是不相容的, 故有P(AB)?P(AB)?P(B)
于是P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4?0.2?0.2; (2) P(A)?1?P(A)?1?0.5?0.5,
P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.5?0.2?0.3;
(3) P(A?B)?p(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.4?0.2?0.7; (4) P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?0.7?0.3.
例3一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求
(1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;
(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.
1?10种. 解 (1) 10个球中任取一个, 共有C10从而根据古典概率计算, 事件A：“取到的球为黑球”的概率为
P(A)?1C31C103?. 102(2) 10球中任取两球的取法有C10种, 其中刚好一个白球, 一个黑球
11?C7的取法有C3种取法, 两个球均是黑球的取法有C32种, 记B为事件“刚
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好取到一个白球一个黑球”, C为事件“两个球均为黑球”, 则
P(B)?11C3C72C102C321731P(C)???,??. 24515C104515例4一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意
取出一球，取后放回.
（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.
（2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次的概率及至少取3次的概率.
解 记Ai为事件 “第i次取到的是黑球”, 则P(Ai)?3/10,i?1,2,? (1) 记B为事件 “10次中能取到黑球”, Bk为事件 “10次中恰好取到k次黑球” (K?0,1,?10), 则有
P(B)?1?P(B)?1?P(B0)?1?(7/10)10,
(2) 记C为“恰好要取 3 次”,D为“至少要取 3 次”,则P(C)?(7/10)2?(3/10),P(D)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?(7/10)2.
例5袋中装有10个球, 其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.
解 这一概率, 我们前面在古典概型中已计算过, 这里我们用一种新的方法来计算. 将事件 “第二次取到的是黑球” 根据第一次取球的情况分解成两个互不相容的部分, 分别计算其概率, 再求和. 记A,B为事件 “第一、二次取到的是黑球”, 则有
P(B)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
2337由题设易知P(A)?,P(A)?,P(B|A)?,P(B|A)?,
10109932733于是P(B)?????.
10910910例6 一袋中有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 从中先后随意各取一球 (不放回),假设已知二次取到的球为黑球, 求 “第一次取到的也是黑球” 的概率.
解 设 “第一次取到的是黑球” 这一事件为A, “第二次取到的是黑球”这一事件为B,则问题归结为求条件概率P(A|B). 根据贝叶斯公式, 有
P(A|B)?P(A)P(B|A).
P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)据题涉及例7的结果易知
P(A)?3/10,P(B|A)?2/9,P(A)?7/10,P(B|A)?2/9,
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从而 P(A|B)?(3/10)?(2/9)2?.
(3/10)?(2/9)?(7/10)?(3/9)9例7设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,
(1) 求取到的是次品的概率;
(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率. 解 记事件A1:“该产品是次品”, 事件A2:“该产品为乙厂生产的”, 事件A3:“该产品为丙厂生产的”, 事件B:“该产品是次品”. 由题设, 知
P(A1)?45%,P(A2)?35%,P(A3)?20%, P(B|A1)?4%,P(B|A2)?2%,P(B|A3)?5%,
(1) 由全概率公式得P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?3.5%.
i?13(2) 由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得
P(A1|B)?P(A1B)P(A1)P(B|A1)?51.4%. ?P(B)P(B)
习题一
（1）设A、B、C表示三个随机事件。试以A、B、C的运算来表示下列事件：A、B、C中恰好一个发生 。A、B、C中至少有两个发生 。A、B、C中不多于一个发生 。
（2）设A、B、C表示三个事件。利用A、B、C表达下列事件：(1)A出现，B、C都不出现 ；(2)A、B都出现，C不出现 ；(3)三个事件中至少有一个出现 ；(4)三个事件中最多出现两个 。
（3）已知A?B，P(A)?0.2,P(B)?0.3，则P(A?B)? ，P(A?B) 。
（4）设P(A)?0.2，P(A?B)?0.1，则P(AB)? 。
（5）设事件A、B相互独立，且P(A)?P(B)?0.5，则有P(AB)? 。
（6）某人射击时，中靶的概率为，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为 。
（7）将一个试验重复独立地做了n次。设在每次试验中A出现的概率为p。则在这n次试验中事件A至少出现一次的概率为 。 （8）已知A?B，P(A)?0.2,P(B)?0.3，则P(AB)? ，
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P(A|B)? 。
（9）将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为1，2，3的概率。
（10）已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率：两只都是正品；一只是正品，一只是次品；第二次取出的是次品。
（11）某车间有三台设备生产同一型号的零件，每台设备的产量分别占车间总产量的25%，35%，40%。若各台设备的废品率分别为0.05，0.04，0.02，问：今从全车间生产的零件中任取一件，求此件是废品的概率；若任取一件产品发现是废品,此废品是甲车间生产的概率是多少？
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