?/n(3) 对于给定的显著性水平?, 确定k, 使P{|U|?k}??
查正态分布表得k?u?/2?u0.025?1.96, 从而拒绝域为|u|?1.96.
110(4) 由于x??xi?575.20,?2?64, 所以
10i?jx??0|u|??2.06?1.96,
?/n故应拒绝H0, 即认为折断力的均值发生了变化. 2．方差?2未知情形
例2 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是50kg, 某日开工后随机抽查了9袋, 称得重量如下:
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2
设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常(??0.05)?
解 (1) 建立假设H0:??50,H1:??50.
X??0~t(n?1). (2) 选择统计量T?S/n(2) 选择统计量U?X??0~N(0,1).
(3) 对于给定的显著性水平?, 确定k, 使P{|T|?k}??
查t分布表得k?t?/2?t0.025(8)?2.306, 从而拒绝域为|t|?2.306. (4) 由于x?49.9,s2?0.29, 所以
|t|?x?50?0.56?2.036, |t|?0.56?2.036, s/n故应接受H0, 即认为包装机工作正常. 总体方差的假设检验
例3 某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力. 折断力的方差被用作工厂生产精度的表征. 方差越小, 表明精度越高. 以往工厂一直把该方差保持在64(kg2)与64以下. 最近从一批产品中抽取10根作折断力试验, 测得的结果(单位为千克)如下:
578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570.
由上述样本数据算得:
x?575.2,s2?75.74.
为此,厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了. 如确实增大了, 表明生产精度不如以前, 就需对生产流程作一番检验, 以发现生产环节中存在的问题.试在??0.05的显著性水平下,检验厂方的怀疑.
解 为确认上述疑虑是否为真, 假定多金属丝折断力服从正态分布, 并作下述假设检验: H0:?2?64,H1?2?64.
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上述假设检验问题可利用?2检验法的右侧检验法来检验, 就本例中而
2?64,n?10. 言, 相应于?0对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平??0.05, 查附表知, 22??(n?1)??0.05(9)?16.919.
2?0设H0, 从而认为样本方差的偏大系偶然因素, 生产流程正常, 故不需再作进一步的检查.
从而有 ??2n?19?75.742s??10.65?16.919??0.05, 故不能拒绝原假642
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练习题
1．指出下列事件的包含关系
（1）A表示“某圆柱形产品的长度合格”，B表示“某圆柱形产品合格” （2）C表示“击中飞机”，D表示“击落飞机”。 2．在一次射击中，设A表示“命中2至4环”，B表示“命中3至5环”，C表示“命中5至7环”，试表述下列事件：（1）AB，（2）A?B，（3）
（4）ABC，（5）A(B?C) AB，
3．设甲、乙两地根据多年的气象记录，知道一年中雨天的比例甲地占20%,乙地占18%，两地同时下雨占12%,求已知在乙地下雨的条件下甲地下雨的概率。
4．电路由电池A与两个并联的电池B及C串联而成，设电池A、B、C损坏的概率分别是0.3,0.2,0.2，求电路发生间断的概率。
5．从5双不同鞋号任意取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的概率是多少？
6．袋中有18个白球，2个红球，从中随机地接连取出3个球，取后不放回，试求第三个球是红球的概率。
7．书架上任意排放着8本书，求某3本书放在一起的概率。
8．某铁路调车场，有12股道，停放8列车，求恰有紧靠在一起的4股道无车的概率。
9．十个考签中，四个难签。三个人参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙最后。记A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求：(1)P(AB),(2)P(AB),(3)P(ABC)。
10．某家电商场购进一批彩色电视机，经检验发现，外壳有损坏的占4%，显像管有缺陷的有5%，其他部分发现有问题道的有8%，外壳和显像管都有问题的有0.3%，显像管和其他部分都有问题的有0.4%，外壳和其他部分都有问题的有0.5%，三者都有问题的有0.2%，若从中任取一件，问至少有一种问题的概率是多少？
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11．两个射手彼此独立射击同一目标，射甲射手射中的概率为P(A)?0.9，乙射手射中概率为P(B)?0.8，求目标被射中的概率。
12．珠算一级3名学生，每次核算票据无误的概率都为0.93，现3人同时核算同一批票据，求至少有两人无误的概率。
13．一个电路中安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，甲烧断的概率0.28，乙烧断的概率为0,74，两根保险丝同时烧断的概率为0,63，问至少烧断一根保险丝的概率是多少？
14．若A地区订日报占60%，订晚报占30%，不订报的占25%，试求两种报都订的概率。
15．某地区鲜花代理商供应本地区100家零售花店的鲜花，每一家零售花店预定下一天鲜花的概率互不依赖，且都等于0.04，求一天中恰有4家花店订货的概率。
16．某高校计算机专业招收在职研究生80名，这些学生中有20名有两年工作经历，15名有三年工作经历，25名有四年工作经历，其他20名有五年或五年以上的工作经历。假设随机抽取一名学生
⑴ 这名学生中至少有四年工作经验的概率为多少？ ⑵ 假设我们已知这名学生至少有三年工作经历，那么这名学生至
少有四年工作经历的概率为多少？
17．三名同学今年参加高考，根据历次模考成绩分析，能考上重点大学的概率分别为0.85，0.75，0.80。试求
⑴ 三位同学都能考上重点大学的概率。 ⑵ 三位同学都考不上重点大学的概率。
18．A广告公司是某地区较知名的广告公司，一个人看到A广告公司广告的概率为0.4。假设从这个地区的人口中随机选择6人，（1）这些人中至少4人看到这个广告公司广告的概率；（2）这些人中最多2看到该公司广告的概率。
19．设?的分布列为表5—20
1? 0 1 ?1 2 P? 1 316 216 1 1214 求E(?),D(?) 20．某地居民年龄?（岁）的密度函数为
?K(x?24)(84?x)2f(x)???024?x?84
其他求 ⑴ 系数K；
⑵ 该地区居民的平均年龄；
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⑶ 小于平均年龄的人数与大于平均年龄的人数各占人口百分比是多少？
21．根据资料分析，某基金每年投资收益率的概率分布为下表5—21 投资收益率 9 10 11 12 13 14 13 p 0.06 0.16 0.21 0.27 0.15 0.11 0.4 试求 ⑴ 该基金年收益率至少是13%的概率； ⑵ 年收益率的概率分布；
⑶ 年收益率的期望值、方差是多少？
22．无线电发出的信号被另一电台收到的概率为0.2，信号每隔5秒钟拍发一次，直到收到对方的回答信号为止，发出信号与收到信号之间至少需经过16秒钟的时间，求在双方建立联系之前，已拍发的呼唤号的平均次数。
23．某工厂有4辆汽车，假设每辆车在一年内至多只发生一次损失，且各自相互独立，且有相同的损失概率P?0.1，试求这个厂在一年内汽车损失次数的概率分布及均值。
25．建筑工地购进一批钢筋，经测试抗压指标?及概率分布为表5-22，试求，这批建筑钢筋的平均抗压指标。
表5-22 抗压指120 125 130 135 140 标? P(?) 0.2 0.3 0.25 0.15 0.1
26．一位农场主的作物因缺水而快要枯萎了，他必须决定是否进行灌溉。如他进行灌溉，或者天下雨的话，作物带来的利润是1000元，但若是缺水，利润只有500元，进行灌溉的成本是100元，该农场主的目标是预期利润最大化。
⑴ 如果农场主相信下雨的概率是50%，他会灌溉吗？
⑵ 假如天气预报的概率（准确率）是100%,农场主愿意为获得这
种准确的天气信息支付多少费用？
⑶ 如果天气预报的准确率为75%，农场主愿意为获得这种天气信
息支付多少费用？
27．设有某机床加工某种零件，现抽检16个零件，测得的直径（单位：毫米）如下：
12.15 12.12 12.04 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.09 12.13 12.07 12.10 12.08 12.04 12.13 12.06
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已知零件的直径是服从正态分布N?,?2，试求以99%的置信度估计零件的平均直径。
28．一家肯德基分店，某天随机抽取100个顾客进行消费金额的调查。经分析，平均每位顾客的消费额是46.26元，标准离差是18.12元，试求：⑴ 以99%的置信度估计顾客的消费均值的置信区间；⑵ 以95%置信度估计顾客消费方差的置信区间。
29．航空公司正在分析航班的上座率和正点情况。
⑴ 为了估计航班的上座率，公司随机抽取20个航班，观测样本
均值是每个航班有8.1个空座，观察样本标准离差是每个航班有3.9个空位，试估计每个航班空位数量均值是99%的置信区间。
⑵ 为了估计航班延误飞行时间的范围，公司随机抽取了80个航
班。观测样本均值是每个航班延误15.5分钟，观察样本标准离差是每个航班6.7分钟，试估计每个航班空延误时间均值是95%的置信区间。 30．某厂生产的某种型号的电池, 其寿命(以小时计)长期以来服从方差?2?5000的正态分布, 现有一批这种电池, 从它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变.现随机取26只电池, 测出其寿命的样本方差s2?9200.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化(取??0.02)?
31．一公司声称某种类型的电池的平均寿命至少为21.5小时. 有一实验室检验了该公司制造的6套电池, 得到如下的寿命小时数:
19, 18, 22, 20, 16, 25
试问: 这些结果是否表明, 这种类型的电池低于该公司所声称的寿命? (显著性水平??0.05.)
32．有一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命X服从正态分布N(?,40000), 根据以往的生产经验, 知道灯管的平均寿命不会超过1500小时. 为了提高灯管的平均寿命, 工厂采用了新的工艺. 为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命, 他们测试了采用新工艺生产的25只灯管的寿命, 其平均值是1575小时. 尽管样本的平均值大于1500小时, 试问: 可否由此判定这恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿命较长呢(显著性水平??0.05)?
33．将两封信随意地投入3个邮筒, 设X,Y分别表示投入第1, 2号邮筒中信的数目, 求X和Y的联合概率分布及边缘概率分布.
34．(X,Y)的密度函数f(x,y)的密度函数为
?kxy,0?x?1,0?y?1 f(x,y)???0,其它??求 (1) 参数k的值；（2）(X,Y)的边缘密度.
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35. 设(X,Y)的分布律如下
X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 ? ? 问?,?为何值时, X与Y相互独立. ?4xy,36. .设f(x,y)???0,0?x?1,0?y?1其它1 2 3 ，试判断X与Y是否相互独
立.
37． 设总体X具有概率概率密度
??e??(x??),f(x,?,?)???0,其中??0,?为未知参数. X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本, 求?,?的矩
x?? x??估计量.
38． 设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知，x1,x2,?,xn是一个样本值. 试求a,b的最大值似然估计量.
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