????P???1.96?????1.96??0.95
nn??????上式表明?包含在区间???1.96，??1.96?内的概率为0.95。
nn??例5 从生产的一批灯管中，抽了十支进行寿命试验，得数据如下（单
位：小时）：
1300 1210 1050 1260 1040 1200 1120 1120 1080 1130 ⑴ 估计灯管的平均使用寿命；
⑵ 灯管寿命服从正态分布?～N??,8?，试求平均寿命的置信区间???0.05?。
1?1300?1210???1130??1151 10⑵ 由于?已知，求?的置信区间，可使用U变量， ???0.05，查正态分布表可得
??1.96
而n?10，??22， ??1151
解 ⑴ ?????根据(5-10)式可得
1151?2210?1.96???1151?2210?1.96
1149.05???1152.95
所求的灯管平均使用寿命均值?的置信区间（1149.05, 1152.95）,置信度为95%.
22? 未知?，求均值?的置信区间。
由于?2未知，在U变量中既含有待估参数?外，还含有未知参数?，因此不能用U变量，但S2是?2的良好估计量，故可用S代替U中的?，这就是前面所讲的T变量，因此在?2未知时，估计参数?的置信区间可选用T变量。
???～t?n?1? T?
s
对给定的置信度1??，存在一个临界值使P?T????1??
即
n
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???????P????????1?? ??s??n??由t分布表，对给定的?及自由度出临界值?，解出?的置信区间，得
ss??P????????????1??
nn??于是参数?的置信度为1??的置信区间
ss???，???? ???nn??其中??t?(n?1) 2(5-43) 例6一家保险公司想要估计在过去的一年里投保人的平均理赔额。随机地选取了36个投保人作为一个随机样本，观测样本均值是739.98元，观测样本标准离差是312.70元。试求以99%的置信度估计去年一年里投保人平均理赔额。
解 由题知：
??739.98， S?312.70， n?36
置信水平为99%，则
?2?0.01?0.005，自由度为n?1?35,查t分布表求临2界值?
??t?(n?1)?t0.005(35)?2.724
2代入(7-11)式得
312.70312.70??739.98??2.724739.98??2.724?=(598,981.96) ，?66??所以去年一年里投保人平均理赔额为置信度为99%的置信区间为
(598,981.96).
第六节 单正态总体的假设检验
一、总体均值的假设检验
当检验关于总体均值?（数学期望）的假设时，该总体中的另一个参数，即方差?2是否已知，会影响到对于检验统计量的选择，故下面分两种情形进行讨论.
1．方差?2已知情形
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设总体X~N(?,?2),其中总体方差?2已知，X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本, X为样本均值.
1）检验假设H0:???0,H1:???0.其中?为已知常数. 由第五章第三节知, 当H0为真时,
X??0U?~N(0,1),
?/n故选取U作为检验统计量, 记其观察值为u. 相应的检验法称为u检验法.
因为X是?的无偏估计量, 当H0成立时, |u|不应太大, 当H1成立时, |u|有偏大的趋势, 故拒绝域形式为
x??0?k (k待定). |u|??/n对于给定的显著性水平?,查标准正态分布表得k?u?/2, 使
P{|U|?u?/2}??
由此即得拒绝域为
x??0|u|??u?/2.
?/n即 W?(??,?u?2)?(u?2,??)
0根据一次抽样后得到的样本观察值x1,x2,?,xn计算出U的观察值u, 若|u|?u?/2, 则拒绝原假设H0, 即认为总体均值与?0有显著差异; 若|u|?u?/2, 则接受原假设H, 即认为总体均值与?无显著差异.
类似地，对单侧检验有:
(i) 右侧检验：检验假设H0:???0,H1:???0，其中?0为已知常数. 可得拒绝域为
x??0u??u?
?/n(ii) 左侧检验：检验假设 H0:???0,H1:???0，其中?0为已知常数.可得拒绝域为
x??0u???u?
?/n
2．方差?未知情形
设总体X~N(?,?2),其中总体方差?2未知，X1,X2,?,Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为样本均值与样本方差.
1）检验假设H0:???0,H1:???0.其中?为已知常数. 由第五章第三节知, 当H0为真时,
0
02
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T?X??0S/n~t(n?1),
故选取T作为检验统计量, 记其观察值为t. 相应的检验法称为t检验法. 由于X是?的无偏估计量, S2是?2的无偏估计量, 当H0成立时, |t|不应太大, 当H1成立时, |t|有偏大的趋势, 故拒绝域形式为
x??0|t|??k (k待定).
s/n对于给定的显著性水平?, 查分布表得k?t?/2(n?1), 使 P{|T|?t?/2(n?1)}??
由此即得拒绝域为
x??0|t|??t?/2(n?1).
s/n即 W?(??,?t?2(n?1))?(t?2(n?1),??)
根据一次抽样后得到的样本观察值x1,x2,?,xn计算出T的观察值t, 若|t|?t?/2(n?1), 则拒绝原假设H0, 即认为总体均值与?0有显著差异; 若|t|?t?/2(n?1),则接受原假设H0, 即认为总体均值与?0无显著差异.
类似地，对单侧检验有： (i) 右侧检验：检验假设H0:???0,H1:???0，其中?0为已知常数. 可得拒绝域为
x??0t??t?(n?1)
s/n(ii) 左侧检验：检验假设H0:???0,H1:???0, 其中?0为已知常数.
可得拒绝域为
x??0t???t?(n?1)
s/n
二、总体方差的假设检验
设X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为样本均值与样本方差.
22,H1:?2??01）检验假设 H0:?2??0.其中?为已知常数.
由第五章第三节知, 当H0为真时,
0?2?n?12?0S2~?2(n?1);
故选取?2作为检验统计量. 相应的检验法称为?2检验法.
2由于S2是?2的无偏估计量, 当H0成立时, S2应在?0附近, 当H1成立
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时, ?2有偏小或偏大的趋势, 故拒绝域形式为
22?0?0对于给定的显著性水平?查分布表得
2k1??12??/2(n?1),k2???/2(n?1)
?2?n?1S2?k1或?2?n?1S2?k2 (k1,k2待定).
使
P{???221??/2(n?1)}??2,P{????/2(n?1)}?n?12?022?2.
由此即得拒绝域为
?2?n?12?0s2??12??/2(n?1)或?2?2s2???/2(n?1).
2即 W?[0,?12??/2(n?1))?(??/2(n?1),??)
根据一次抽样后得到的样本观察值x1,x2,?,xn计算出?2的观察值, 若
2?2??12??/2(n?1)或?2???, 则拒绝原假设H, 若/2(n?1)2?12??/2(n?1)??2???/2(n?1),则接受假设H0.
类似地，对单侧检验有:
22,H1:?2??0(i)右测检验： 检验假设: H0:?2??0. 其中?为已知常数,
可得拒绝域为
0
02?022,H1:?2??0(ii)左侧检验：验假设：H0:?2??0.其中?0为已知常数. 可
得拒绝域为
?2?n?1s2??12??(n?1)
?2?n?12?02s2???(n?1).
例题选讲：
总体均值的假设检验 1. 方差?已知情形
例1 某车间生产钢丝, 用X表示钢丝的折断力, 由经验判断X~N(?,?2), 其中??570,?2?82.今换了一批材料, 从性能上看估计折断力的方差?2不会有什么变化 (即仍有?2?82), 但不知折断力的均值?和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为:
578 572 570 568 572 570 570 572 596 584
取??0.05, 试检验折断力均值有无变化?
解 (1) 建立假设H0:???0?570,H1:??570.
2
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