0,x?0?0,x?0??xt0?x?3??0dt,?x2/12,0?x?3??6??. F(x)??2t?3tx???0dt??3?2??dt,3?x?4??3?2x?x/4,3?x?42????61,x?4??1,x?4?(3)
P{1?X?7/2}?7/2?1f(x)dx?3?117/2?xdx??3?2?6?x?12dx?x?2?1231?x2?7/2????2x?4?3??41?, 48或P{1?X?7/2}?F(7/2)?F(1)?41/48.
例2某元件的寿命X服从指数分布, 已知其参数??样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率.
解 由题设知, X的分布函数为
x???1000,x?0. F(x)??1?e?0,x?0?1，求3个这1000由此得到
P{X?1000}?1?P{X?1000}?1?F(1000)?e?1.
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的, 用Y表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数, 则Y~b(3,1?e?1).
所求概率为
0(1?e?1)0(e?1)3?1?e?3. P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C3例3 设某项竞赛成绩X~N（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少？
解 设获奖分数线为x0, 则求使P{X?x0}?0.1成立的x0.
?x0?65?P{X?x0}?1?P{X?x0}?1?F(x0)?1?????0.1,
?10?x?65?x?65?即??0?1.29, 解得x0?77.9, 故分数线可定??0.9, 查表得010?10?为78分.
例4 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率.
解 将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数为X, 则
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X~b(400,0.02).
?400?k400?kX的分布律为P{X?k}???(0.02)(0.98), k?0,1,?,400. ?k???于是所求概率为
P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}
?1?(0.98)400?400(0.02)(0.98)399?0.9972.
?x/8,0?x?4例5设X~fX(x)??, 求Y?2X?8的概率密度.
?0,其它解 设Y的分布函数为FY(y), 则
FY(y)?P{Y?y}?P{2X?8?y}?P{X?(y?8)/2}?FX[(y?8)/2]
dF(y)?y?8?1?fX?于是Y的密度函数fY(y)?Y?? dy?2?2?y?8?注意到0?x?4时，fX(x)?0,即8?y?16时，fX???0,且
?2??y?8?y?8fX? ??16?2??(y?8)/32,8?y?16. 故fY(y)??0,其它?例6设随机变量X的分布函数为
x?1,?0,?9/19,1?x?2,?F(x)??
?15/19,2?x?3,?x?3.?1,求X的概率分布.
解 由于F(x)是一个阶梯型函数, 故知X是一个离散型随机变量, F(x)的跳跃点分别为1, 2, 3, 对应的跳跃度分别为 9/19, 6/19, 4/19, 如图. 故X的概率分布为
Xpi123.
9/196/194/19
第三节 多维随机变量及其分布
一、 二维随机变量
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定义1 设随机试验的样本空间为S?{e}, e?S为样本点，而
X?X(e),Y?Y(e)
是定义在S上的两个随机变量, 称(X,Y)为定义在S上的二维随机变量或二维随机向量.
二、 二维随机变量的分布函数
定义2 设(X,Y)是二维随机变量, 对任意实数x,y, 二元函数
P{X?x,Y?y}
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函
F(x,y)?P{(X?x)?(Y?y)}记为数.
三、 二维离散型随机变量及其概率分布
定义3 若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可数个值, 则称(X,Y)为二维离散型随机变量.
若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj)i,j?1,2,?, 则称
P{X?xi,Y?yj}?pij(i,j?1,2,?) 为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布(分布律), 或X与Y的联合概率分布(分布律).
四、二维连续型随机变量及其概率密度
定义 设(X,Y)为二维随机变量,F(x,y)为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数f(x,y), 使对任意实数(x,y), 有
xyF(x,y)???????f(s,t)dsdt,
则称(X,Y)为二维连续型随机变量, 并称f(x,y)为(X,Y)的概率密度(密度函数), 或X,Y的联合概率密度(联合密度函数).
概率密度函数f(x,y)的性质:
??(1)f(x,y)?0; (2)??????f(x,y)dxdy?F(??,??)?1;
(3) 设D是xOy平面上的区域,点(X,Y)落入D内的概率为
P{(x,y)?D}???f(x,y)dxdy
D五、 随机变量的独立性
定义1 设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y), 边缘分布函数为FX(x),FY(y), 若对任意实数x,y,有
P{X?x,Y?y}?P{X?x}P{Y?y},
即 F(x,y)?FX(x)FY(y), 则称随机变量X和Y相互独立.
定理1 对离散型随机变量(X,Y), 其独立性的定义等价于:
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若对(X,Y)的所有可能取值(xi,xj), 有
P{X?xi,Y?yj}?P{X?xi}P{Y?yj} 即 pij?pi?p?j,i,j?1,2,?
则称X和Y相互独立.
定理2 对二维连续型随机变量(X,Y), 其独立性的定义等价于: 若对任意的x,y, 有
f(x,y)?fX(x)fY(y)
几乎处处成立, 则称X,Y相互独立.
例题选讲：
例1设(X,Y)的概率密度是
?cy(2?x),0?x?1,0?y?x f(x,y)??其它?0,求 (1) c的值; (2) 两个边缘密
????解 (1) 由??????f(x,y)dxdy?1确定c.
?0?0cy(2?x)dydx
1?c?0[x2(2?x)/2]dx 1度.
?x??5c/24?1 c?24/5.
(2)
122fX(x)??x)dy?x(2?x),0?x?1
55y2?24?3124?,0?y?1 fY(y)??yy(2?x)dx?y??2y??55?22??x24?0y(2?122?即 fX(x)??5x(2?x),?0,??24?3?2y??y??fY(y)??5?2?0,?0?x?1其它
y2??,0?y?1. 2??其它
例2 设随机变量X与Y相互独立, 下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.
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Y y1 y2 X x1 1/8 x2 1/8 P{y?yj}?pj 1/6 y3 P{X?xi}?Pi 1 解 由于 P{X?x1,Y?y1}?P{Y?y1}?P{X?x2,Y?y1}?1/6?1/8?1/24,
考虑到X与Y相互独立, 有P{X?x1}P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1},
所以P{X?x1}?1/241?. 1/64同理, 可以导出其它数值, 最后将所求数值填入表中.
Y y1 y2 y3 P{X?xi}?Pi X x1 1/24 1/8 1/12 1/4 x2 1/8 3/8 1/4 3/4 P{y?yj}?pj 1/6 1/2 1/3 1 例3设随机变量(X,Y)的概率密度为 ?e?y,0?x?y; f(x,y)??其它.?0,(1) 求X与Y的边缘密度, 并判断X与Y是否相互独立;
(2 求概率P{X?2Y?1}. 解 (1)
??fX(x)????f(x,y)dy,???x???, 当x?0时，fX(x)?0,
???yedy?e?x, 当x?0时，fX(x)??x?e?x,x?0所以fX(x)??,
?0,x?0?ye?y,y?0类似可得fY(y)??.
y?0?0,由于当0?x?y时, fX(x)?fY(y)?f(x,y), 故X与Y不相互独立.
(2)P{X?2Y?1}???f(x,y)dxdy?x?2y?111?x?y3dx?x2edy?0?1?2e?12?3e?13,
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