第二节 随机变量及分布
一、离散型随机变量及其分布
1．离散型随机变量的概率分布：P(??k)?Pk,k?0,1,2,.... 2. 几个常用的离散型概率分布 ⑴ 二点分布（“0—1”分布） 如果随机应量?的分布列为表5—3
? 1 0 P???k?p q 其中0?p?1，q?1?p则称?服从以p为参数的二点分布，记作?～B(1、p)。
⑵二项分布
若离散型随机变量?的分布列为
kkn?kPn???k??Cnpq (5-16) ?p?0,q?1?p,k?0、1、2、?n? 则称?服从参数为n，p的二项分布）（n次独立试验概型），记作?～B(n，p)
⑶泊松分布
如果离散型随机变量?的发布为
k!则称?服从以λ为参数的泊松分布，记作?～P(λ) 当n??如果np趋一个常数?，则有
P???K???k?e?????0,k?0,1,2,?? (5-17) k!即当n很大时可用泊松分布来近似计算服从二项分布的?的概率，其误差不大。
3. 离散型随机变量的分布函数
定义5.8 设?是一个随机变量，称函数
F?x??P???x? （???x???） (5-18) 为随机变量?的分布函数，记作?~F(x)或F?(x)。 利用概率的性质可以证明，分布函数F?x?具有以下性质：
⑴ F?x?是一个非减的函数。 即若x1?x2 ，则F(x1)?F(x2)； ⑵ 0?F?x??1
第 6 页 共 36 页
P???k??kkn?kCnPq??ke??其中??np
⑵ F?????limF?x??0，F?????limF?x??1
x???x???⑷F(x)在任意一点x处都右连续，即F(x?0)?F(x)(???x???)。 另外，还有如下公式
P(??a)?1?F(a) P(a???b)?F(b)?F(a),若离散型随机变量?的分布列为表5—6
? x1 x2 xn ? P???xk? P1 P2 Pn ?
根据定义5.8它的分布函数为
x?x1?0?Px1?x?x21??F(x)??P1?P2x2?x?x3
????????x?xn?P1?P2???Pn简写为
F(x)?P(??x)??pi
xi?x这里的和式是对于小于x的一切xi对应的概率和。
三、连续型随机变量及其分布
1. 概率密度函数
定义5.9 设?为连续型随机变量，如果存在非负函数y?f?x?，使?在任一区间[a,b]内取值的概率都有 bP?a???b???af?x?dx (5-19) f?x?就叫做?的概率密度函数(简称为密度函数)。记为?～f(x)。概率密度函数需满足以下条件：
⑴ f?x??0即密度函数是非负的；
⑵
?????f?x??1
显然，对于连续随机变量?，但a?b时有
aP(??a)??af(x)?0
故 P?a???b??P?a???b??P?a???b??P?a???b?
2. 连续型随机变量的分布函数
根据定义5.9对于连续型随机变量?，其分布函数为F(x)，则
第 7 页 共 36 页
F?x??P(??x)??f?x?dx ??x 且但f(x)在x处连续时F?(x)?f(x)。 3．几个常见的连续型随机变量的分布函数 1．均匀分布
如果连续型随机变量?的概率密度函数为
?1?f?x???b?a??0a?x?b其它
称?服从区间上的均匀分布，记为?～U(a,b)
均匀分布的分布函数 ?0??F?x???x?a?b?a??1x?aa?x?b x?b(5-21) 2．正态分布
如果连续型随机变量?的密度函数为
?12?2(5-22) f?x??e(???x???) 2??其中?为任意实数，??0，则称?服从以?，?2为参数的正态分布，记作?～N??,?2?。
f?x?0.4?x???2?0.24?0???????x图5-13 由图5—13可见，曲线具有下列特点：
⑴ 曲线位于x轴的上方，且以x轴为水平渐近线。 ⑵ 曲线关于参数?对称 ⑶ 当x?u时，f?x?达到最大值
0.4⑷ 曲线与x轴转成的面积为1。
第 8 页 共 36 页
?
⑸ 曲线在x????处有拐点，拐点坐标为????，f?x?0.4?0.24????u??，?? ?2????1参数?决定正态曲线所在的位置，如图5-14所示。
f?x???10.8??5??0??20.4??10.2??2012x0??0.5x图5-14 图
5-15
参数?决定正态曲线的扁平，?小图像狭高，?大图像扁平，如图5-15所示。
⑴正态分布函数
服从正态分布的随机变量?的分布函数为
F?x???x???1e2???t???22?2dt (5-23) 当??0，??1时，则称随机变量?服从标准正态分布，记为?～N?0,1?，其密度函数??x?和分布函数?(x)分别为
??x????x??12?xe1?x22,
f?x????2?t2?e2dt见图5-16
??x???x?0xx?x1???x?0xx图5-16 图
5-17
由标准正态分布的密度函数可知曲线关于y轴对称且对称区间概率相等。即：
第 9 页 共 36 页
???x??1???x?
如图5-17所示
定理 设X~N(?,?2),则Y?X???~N(0,1).
标准正态分布表的使用：
（1）表中给出了x?0时?(x)的数值, 当x?0时, 利用正态分布的对称性, 易见有
?(?x)?1??(x);
（2） 若X~N(0,1),则
P{a?X?b}??(b)??(a);
X??（3）若X~N(?,?2), 则Y?~N(0,1), 故X的分布函数
??X??x????x???F(x)?P{X?x}?P???; ???????????b????a???b????a???P{a?X?b}?P??Y?????????. ???????????例题选讲：
例1 设随机变量X具有概率密度
0?x?3,?kx,?x?f(x)??2?,3?x?4,
2?其它.??0,(1)确定常数k;(2)求X的分布函数F(x);(3)求P{1?X?7/2}.
x?34???解 (1) 由???f(x)dx?1, 得?0kxdx??3?2??dx?1,
2???x0?x?3?6,?x?解得k?1/6,于是X的概率密度为f(x)??2?,3?x?4.
2?其它?0,??(2) X的分布函数为
共 36 页 第 10 页