第四节 随机变量的数字特征
一、随机变量的数学期望及其性质
1. 离散型随机变量的数学期望
定义5.10 设离散型随机变量?的分布列为下表5—9： 表5-9 ? x1 x2 x3 ? P(??xi)?pi p1 p2 p3 ? 则称 x1p1?x2p2?x3p3???xnpn??xipi
ni?1xn pn 为?的数学期望（或均值）记为E???
2．连续型随机变量的数学期望
定义5.11 如果连续型随机变量?的概率密度函数为f?x?，则称
E(?)??xf?x?dx
????称为?的数学期望。
3．数学期望的性质
随机变量的数学期望有下列性质： ⑴ 常数的数学期望等于该常数，即 E?c??C?C为常数? (5-26) ⑵ 常数与随机变量乘积的数学期望等于该常数与随机变量数学期望的积，即 E?C???CE??? (5-27) ⑶ 两个随机变量和的数学期望等于它们的数学期望的和，即 E??????E????E??? (5-28) ⑷ 两个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们的数学期望的乘积，即 E(??)?E(?)E(?) (5-29) 二、随机变量的方差及性质 定义5.12 设? 是一个随机变量，称
D(?)?E(??E(?))2
为?的方差。D(?)称为随机变量?的标准差或均方差，记作????，即 ?????D??? 如果?是离散型随机变量且分布列为P???xk??pk 共 36 页 第 16 页
?k?1,2,3,?n?，则
D????E???E?????22????x?E?Pk k?i?1n(5-30) 果?是连续型随机变量，且概率密度函数为f?x?，则 D????????x?E????2f?x?dx (5-31) 由定义可见，方差是随机变量?所取之值与E???的距离平方的平均值。因此，方差小说明随机变量所取的值比较集中，方差大说明随机变量所取之值比较分散。
随机变量的方差具有以下性质 ⑴ 常数的方差等于零 D?C??0?C为常数? (5-32) ⑵ 常数与随机变量乘积的方差等于该常数的平方与随机变量方差的乘积，即 D?C???C2D????C为常数? (5-33) ⑶ 两个相互独立的随机变量之和的方差等于这两个随机变量方差的和，即 D??????D????D??? (5-34) （证明略） 方差的常用公式 D????E?2?E2??? (5-35) 为了使用方便，我们把常用的随机变量的概率分布及其数字特征列表如下： 名 称 概 率 分 布 参 数 范 围 均值 方差 P???k??pkqn?k 0?p?1 两点分p pq ?k?0,1? q?1?p 布 0?p?1 kkn?k二项分P???k??CnPq np npq q?1?p 布 ?k?0,1,?n? n?N ??泊松分布 均匀分布 P???k???1?f?x???b?a??0?kk!e?? ?k?0,1,2?? a?x?b其它??0 ? ? b?a a?b?b?a?22 12 ??e??xx?0指数分 f(x)?? 布 0x?0???0 ? ?2 11 共 36 页 第 17 页
正态分布 标准正 态分布 f?x??12?? 12?e?x???2?2?2 ??????? ??0 ????????0 ?2 1 f?x??ex2?2 ??0 三、协方差与相关系数 1、 协方差的定义
定义 设(X,Y)为二维随机向量,若
E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}
存在, 则称其为随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y),即 cov(X,Y)?E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.
利用数学期望的性质, 易将协方差的计算化简.
cov(X,Y)?E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}?E(XY)?E(X)E(Y)?E(Y)E(X)?E(X)E(Y) ?E(XY)?E(X)E(Y).特别地, 当X与Y独立时, 有 cov(X,Y)?0.
2、相关系数的定义与性质
定义 设(X,Y)为二维随机变量,D(X)?0,D(Y)?0,称
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)
为随机变量X和Y的相关系数.有时也记?XY为?. 特别地，当?XY?0时，称X与Y不相关. 例题选讲：
例1 已知离散型随机向量(X,Y)的概率分布为
?1 0 2 X 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1 求cov(X,Y).
解 容易求得X的概率分布为P{X?0}?0.3,P{X?1}?0.45,P{X?2}?0.25;
Y的概率分布为P{Y??1}?0.55,P{Y?0}?0.25,P{Y?2}?0.2,
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于是有
E(X)?0?0.3?1?0.45?2?0.25?0.95, E(Y)?(?1)?0.55?0?0.25?2?0.2??0.15.
计算得
E(XY)?0?(?1)?0.1?0?0?0.2?0?2?0?1?(?1)?0.3?1?0?0.5?1?2?0.1?2?(?1)?0.15?2?0?0?2?2?0.1?0.
于是 cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.95?0.15?0.1425.
例2设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为 f(x,y)???8xy,0?x?y?1
其它?0,求cov(X,Y)和D(X?Y).
解 由(X,Y)的密度函数可求得其边缘密度函数分别为:
?4x(1?x2),0?x?1?4y3,0?y?1fX(x)??, fY(y)??,
0,其它其它??0,于是
??12E(X)???xf(x)dx?x?4x(1?x)dx?8/15, ?0X???13E(Y)???yf(y)dy?y?4ydy?4/5, ?Y?011????E(XY)???xyf(x,y)dxdy?dx??????0xxy?8xy?dy?4/9, 从而cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?4/225,
12??22xf(x)dx?x?4x(1?x)dx?1/3, 又E(X2)????X?012??23E(Y2)???yf(y)dy?y?4ydy?2/3, ?Y?0所以D(X)?E(X2)?[E(X)]2?11/225,D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?2/75,
故D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?1/9.
例3 设随机变量X服从几何分布, 概率函数
P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,n
其中0?p?1, 求E(X),D(X).
解 设q?1?p,
?q?1k???q?p?, E(X)??kpqk?1?p?(qk)??p??????p?k?1?k?1k?1?1?q?????22k?1k?1E(X)??kpq?p?k(k?1)q??kqk?1? ??k?1k?1?k?1?????? 共 36 页 第 19 页
?q?1k????qp? ?qp?q?E(X)?????p?k?1??1?q?212q12?p?qp??2??, 23pppp(1?q)1?p故D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2.
p???
第五节 统计推断
一、基本概念
1．总体、样本与统计量
在数理统计中把研究对象的全体称为总体（或母体），而组成总体的每一个元素称为个体。由总体中随机抽取的个体组成的集合称为一个样本，样本中所含个体的数目称为样本容量。要求样本具有：
⑴ 必须是随机抽样，而且每一个个体被抽到的机会均等； ⑵ 每次抽取的样本是相互独立的，并具有相同的概率分布。 满足以上两条的样本称为简单随机样本。
为较好的推断（估计）总体?的某特性，对随机抽取的样本(?1,?2,????n)要进行“加工”和“提炼”，把我们所关心的信息集中起来，针对不同问题构造出不含未知参数的样本的某种函数。这种函数在统计中称为统计量，显然也是随机变量。
常用统计量： 样本均值 1n????i ni?1样本修正方差 12S? n?1(5-36) ??????ii?1n2 (5-37) 样本标准差
S?1n?1???i?1ni???2 (5-38) 样本均值的分布
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