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www.jyeoo.com 如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为 125° ． （2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；勾股定理． 分析： （1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°； （2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形； （3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可． 解答： 解：（1）∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°， ∴∠AEB=70°， ∴∠BED=110°， 根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°． ∵AD∥BC， ∴∠EFC=125°， 再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°． 故答案为125°； ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com （2）同意． 如图，设AD与EF交于点G． 由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD． 由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°， 所以∠AGE=∠AGF=90°， 所以∠AEF=∠AFE． 所以AE=AF， 即△AEF为等腰三角形． （3）由题意得出： ∠NMF=∠AMN=∠MNF， ∴MF=NF，由对称性可知， MF=PF， ∴NF=PF， 而由题意得出：MP=MN， 又MF=MF， ∴△MNF≌△MPF， ∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°， 即3∠MNF=180°， ∴∠MNF=60°， 点评： 此题的综合性较强，综合运用了折叠的性质、等边三角形的性质以及勾股定理． 25．（12分）（2012?上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．
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考点： 相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 分析： （1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解； （3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值． 2解答： 解：（1）二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0）， ∴，解得， 2∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x+6x+8； （2）∵∠EFD=∠EDA=90° ∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°， ∴∠DEF=∠ODA ∴△EDF∽△DAO ∴∵∴∴=， ， ． ， ∴EF=t． 同理， ∴DF=2， ∴OF=t﹣2． （3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x+6x+8， ∴C（0，8），OC=8． 如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点． ∵∠ECA=∠OAC， 在△GCA与△OAC中， 2 ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com ， ∴△GCA≌△OAC， ∴CG=4，AG=OC=8． 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中， ∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+OM=OA+EF=4+t， 由勾股定理得： ∵AE=AM+EM=在Rt△AEG中，由勾股定理得： ∴EG=== 222； ∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=OC﹣EM=8﹣（t﹣2）=10﹣t，CE=CG+EG=由勾股定理得：EF+CF=CE， 即解得t1=10，t2=6， ∵当t=10时，CF=10﹣10=0， ∴不合题意舍去， ∴t=6． ， 222+4 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和待定系数法求二次函数解析式等多个知识点，难度较大．第（3）问中，涉及到无理方程的求解，并且计算较为复杂，注意不要出错． 26．（14分）在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF∥AB，DF与CE相交于点F，设EF=x，DF=y．
（1）如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （2）如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长；
（3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长．
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考点： 切线的性质；勾股定理． 分析： （1）连接OC，由OD⊥AC得D是AC的中点，则F也是CE的中点，CE=2x，OC=4，DF=y，OE=2y﹣4，在Rt△COE中，由勾股定理得出y与x之间的关系． （2）连接OC、OF，由EF=CE=OF=4求得CE，再求得OE、AE，则DF即可求出． （3）此题需分两种情况：当⊙E与⊙O外切于点B时、当⊙E与⊙O内切于点B时及当⊙E与⊙O内切于点A时分别求出DF的值． 解答： 解：（1）连接OC． ∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC， ∴CD=AD． ∵DF∥AB， ∴CF=EF． ∴DF=AE=（AO+OE）． ∵点C是以AB为直径的半圆的中点， ∴CO⊥AB． ∵EF=x，AO=CO=4，∴CE=2x，OE=∴y=（4+2）=2+==2． ．定义域为x≥2； （2）当点F在⊙O上时，连接OC、OF． ?2010-2013 菁优网