（II）解：因为
1211?(?)，所以 Snann?1?121?(1?) Snan?1An?111???S1S2S3因为a2n?1?2n?1a，所以
Bn?111???a1a2a2211?()n112?2(1?1). ???a2n?1a1?1a2n2n?Cn?n?1，
012当n?2时,2n?Cn?Cn?Cn?即1?11?1?n, n?12所以，当a?0时,An?Bn; 当a?0时,An?Bn.
20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。 方法一：
（I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O—xyz
则O(0,0,0),A(0,?3,0),B(4,2,0),C(?4,2,0),P(0,0,4)，
AP?(0,3,4),BC?(?8,0,0)，由此可得AP?BC?0，所以 AP?BC，即AP?BC.
（II）解：设PM??PA,??1,则PM??(0,?3,?4)
BM?BP?PM?BP??PA
?(?4,?2,4)??(0,?3,?4)
?(?4,?2?3?,4?4?)AC?(?4,5,0),BC?(?8,0,0)
设平面BMC的法向量n1?(x1,y1,z1)， 平面APC的法向量n2?(x2,y2,z2)
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??BM?n1?0,由? ??BC?n1?0,得???4x1?(2?3?)y1?(4?4?)x1?0,
??8x1?0,?x1?0,2?3??即?) 2?3?可取n1?(0,1,4?4?z1?y1,?4?4????AP?n2?0,?3y2?4z2?0,由?即?
?4x?5y?0,22??AC?n2?0.?5?x?y,??242可取n2?(5,4,?3). 得??z??3y,22??4由n1?n2?0,得4?3?解得??2?3??0,
4?4?2，故AM=3。 5综上所述，存在点M符合题意，AM=3。 方法二：
（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得AD?BC 又PO?平面ABC，得PO?BC.
因为POAD?O，所以BC?平面PAD，
故BC?PA.
（II）解：如图，在平面PAB内作BM?PA于M，连CM， 由（I）中知AP?BC，得AP?平面BMC， 又AP?平面APC，所以平面BMC?平面APC。 在Rt?ADB中,AB2?AD2?BD2?41,得AB?41. 在Rt?POD中,PD?PO?OD， 在Rt?PDB中,PB?PD?BD,
所以PB?PO?OD?DB?36,得PB=6. 在Rt?POA中,PA?AO?OP?25,得PA?5.
2222222222222PA2?PB2?AB21?, 又cos?BPA?2PA?PB3第 - 7 - 页 共 34 页
从而PM?PBcos?BPA?2，所以AM=PA-PM=3。 综上所述，存在点M符合题意，AM=3。
21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查
解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： y??所以圆心M（0，4）到准线的距离是
1, 417. 422（II）解：设P(x0,x0),A(x1,x12),B(x2,x2)，
则题意得x0?0,x0??1,x1?x2，
2设过点P的圆C2的切线方程为y?x0?k(x?x0)， 2即y?kx?kx0?x0 2|kx0?4?x0|①
则1?k2?1,
222即(x0?1)k2?2x0(4?x0)k?(x0?4)2?1?0，
设PA，PB的斜率为k1,k2(k1?k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以
222x0(x0?4)(x0?4)2?1k1?k2?,k1k2?. 22x0?1x0?12将①代入y?x2得x2?kx?kx0?x0?0,
由于x0是此方程的根，
故x1?k1?x0,x2?k2?x0，所以
kAB2222x0(x0?4)x0?4x12?x2??x1?x2?k1?k2?2x0??2x,k?. 0MP2x1?x2x0?1x0222x0(x0?4)x0?4?(?2x)?(??1)， 02x0?1x0由MP?AB，得kAB?kMP解得x0?223, 5即点P的坐标为(?2323,)， 55第 - 8 - 页 共 34 页
所以直线l的方程为y??3115x?4. 115
22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考
查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。
(x?a)2a?(x?a)(2lnx?1?). （I）解：求导得f'(x)?2(x?a)lnx?xx因为x?e是f(x)的极值点， 所以f'(e)?(e?a)(3?)?0, 解得a?e或a?3e经检验，符合题意，
所以a?e或a?3e.
（II）解：①当0?x?1时，对于任意的实数a，恒有f(x)?0?4e2成立； ②当1?x?3e时，由题意，首先有f(3e)?(3e?a)2ln(3e)?4e2， 解得3e?ae2e2e， ?a?3e?ln(3e)ln(3e)ax由（I）知f'(x)?(x?a)(2lnx?1?), 令h(x)?2lnx?1?a,则h(1)?1?a?0,h(a)?2lna?0, x且h(3e)?2ln(3e)?1?a?2ln(3e)?1?3e3e?2eln(3e) 3e?2(ln3e?1)?0. ln3e又h(x)在(0,??)内单调递增
所以函数h(x)在(0,??)内有唯一零点， 记此零点为x0,则1?x0?3e,1?x0?a. 从而，当x?(0,x0)时，f'(x)?0; 当x?(x0,a)时,f'(x)?0; 当x?(a,??)时，f'(x)?0.
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即f(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,a)内单调递减， 在(a,??)内单调递增。
所以要使f(x)?4e2对x??1,3e?恒成立，只要
22??f(x0)?(x0?a)lnx0?4e,(1) ?22??f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e,(2)成立。
由h(x0)?2lnx0?1?a?0，知 x0（3）
a?2x0lnx0?x0,
2将（3）代入（1）得4x0ln3x0?4e2.
又x0?1，注意到函数xlnx在?1,???内单调递增，
33故1?x0?e。
再由（3）以及函数2xlnx?x在(1,??)内单调递增，可得1?a?3e. 由（2）解得，3e?2e2e?a?3e?.
ln(3e)ln(3e)所以3e?2e?a?3e.
ln(3e)2e?a?3e.
ln(3e)综上，a的取值范围是3e?
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