E(X)?3?P(X?3)?4?P(X?4)?5?P(X?5)?6?P(X?6)?13． 320．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。
（Ⅰ）因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是?PBD的中位线，所以 MM//BD 又因为MN?平面ABCD，所以
MM//平面ABCD． （Ⅱ）方法一：
连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxy，z如图所示
在菱形ABCD中，?BAD?120?，得 AC?AB?23，BD?3AB?6． 又因为PA?平面ABCD，所以
PA?AC．
在直角?PAC中，AC?23，PA?26，AQ?PC，得 QC?2，PQ?4． 由此知各点坐标如下，
B(0?,3,，0 ) A(?3,0,，0) C(D(0,3,，0 )3,0,，0) P(?3,0,2，6M)(?33,?,6)， 22 N(?33326．,,6)，Q(,0,)
2233AMN) 设m?(x,y,z为平面的法向量．
由AM?(3333,?,6)，AN?(,,6)知 2222??? ????33x?y?6z?022 33x?y?6z?022 取x??1，得
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m?(22,0?, 1))QMN 设n?(x,y,z为平面的法向量．
由QM?(?53365336，知,?,)QN?(?,,)
623623?5336x?y?z?0???623 ? ??53x?3y?6z?0?23?6 取z?5，得 n?(2 于是
cos?m,n??2,0, 5)m?n33． ?|m|?|n|3333． 33?Q 所以二面角A?MN的平面角的余弦值为 方法二：
在菱形ABCD中，?BAD?120?，得
? AC?ABBC?DBD?3AB，，
有因为PA?平面ABCD，所以 PA?AB，PA?AC，PA?AD，
?P．D 所以PB?PCC 所以?PBC??PD．
而M，N分别是PB，PD的中点，所以 MQ?NQ，且AM?11PB?PD?AN． 22 取线段MN的中点E，连结AE，EQ，则 AE?MN，QE?MN，
?Q 所以?AEQ为二面角A?MN的平面角．
由AB?23，PA?26，故
?3，MN? 在?AMN中，AM?AN1BD?3，得 2第 - 17 - 页 共 34 页
AE?33． 2 在直角?PAC中，AQ?PC，得 AQ?22，QG?2，PQ?4，
PB2?PC2?BC25?BPC??，得 在?PBC中，cos2PB?PC6 MQ?PM2?PQ2?2PM?PQcos?BPC?5．
在等腰?MQN中，MQ?NQ?5，MN?3，得 QE?MQ2?ME2?11． 2 在?AEQ中，AE?3311，QE?，AQ?22，得 22AE2?QE2?AQ233 cos?AEQ?． ?2AE?QE33?Q 所以二面角A?MN的平面角的余弦值为
33． 3321．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。
0)，则由题意得 （Ⅰ）设椭圆左焦点为F(?c，?(2?c)?1?? ?c1???a2 得?10，
?c?1
?a?2 所以椭圆方程为
x2y2??1． 43（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M．
当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x?0，与不过原点的条件不符，舍去．故
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可设直线AB的方程为
y?kx?m(m?0)，
?y?kx?m由?2消去y，整理得 2?3x?4y?12(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0， （1）
则
8km?x?x??12??3?4k22222 ??64km?4(3?4k)(4m?12)?0，?2?xx?4m?1212?3?4k2?8km4m2?12,)， 所以AB线段的中点M(?3?4k23?4k2因为M在直线OP上，所以
3m?2km?，
3?4k23?4k2得
3m?0（舍去）或k??，
2此时方程（1）为3x?3mx?m?0，则
22?x1?x2?m???3(12?m2)?0，?m2?3
?x1x2?3?所以
|AB|?1?k2?|x1?x2|?39?12?m2， 6设点P到直线AB距离为d，则
d?|8?2m|32?22?2|m?4|， 13设?ABP的面积为S，则
S?13|AB|?d??(m?4)2(12?m2)， 26其中m?(?23,0)?(0,23)，
令u(m)?(12?m)(m?4)，m?[?23,23]
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22
u'(m)??4(m?4)(m2?2m?6)??4(m?4)(m?1?7)(m?1?7)，
所以当且仅当m?1?7，u(m)取到最大值， 故当且仅当m?1?7，S取到最大值． 综上，所求直线l方程为3x?2y?27?2?0．
22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。
（Ⅰ）（i）f'(x)?12ax?2b?12a(x?22b) 6ax)?，此时0f(x)在[0??,上单调递增) 当b?0时，有f'(
所以当0?x?1时，
f(x)max?max{f(0),f(1)}?max{?a?b,3a?b}?? （ii）由于0?x?1，故
当b?2a时，
?3a?b,b?2a?|2a?b|?a
??a?b,b?2af(x)?|2a?b|?a?f(x)?3a?b?4ax3?2bx?2a?4ax3?4ax?2a?2a(2x3?2x?1)
当b?2a时，
f(x)?|2a?b|?a?f(x)?a?b?4ax3?2b(1?x)?2a?4ax3?4a(1?x)?2a?2a(2x3?2x?1)
设g(x)?2x?2x?1,?，则0x?1
23 g'(x)?6x?2?6(x? 于是
33)(x?)， 33x g'(x) g(x) 0 (0,3) 3 3 3- 极小值 (3,1) 30 增 1 1 + 1 减 ?g( 所以，g(x)min 所以
343?)?1?，0 39第 - 20 - 页 共 34 页