uk(r)?urk(?hRn )uk?Kn(r)??a(k?Kh?Kn)eiKh?r
??a(k?Kl)eli(kl?Kn)?r
?k?K(r)?ei(k?Knn)?ruk?Kn(r)??eik?ra(k?Kl)eikl?r??k(r)l
?????上式说明：k?Kn和k态实际是同一电子态。同一电子态对应同一个能量，所以又有：
E(r)?E(?knK )5、 题目：根据量子力学知道，晶体中电子的平均运动速度为
v????k(r)??k(r)d3r ?im0?式中?k(r)为晶体中电子的布洛赫波函数，?k(r)为其共轭。请用薛定谔方程证明
v?1?kE(k) ?证明：
布洛赫波函数为
?k(r)?uk(r)eik?r
将波矢空间梯度算符
?k?作用到布洛赫波函数上，可得
???i?j?k ?kx?ky?kz?k?k(r)?ir?k(r)?eik?r?kuk(r)
薛定谔方程为
?22???k(r)?U(r)?k(r)?E(k)?k(r) 2m0将算符?k作用到薛定谔方程两侧，得
?22?22ik?r???ir?k(r)????e?kuk(r)??U(r)?ir?k(r)??U(r)?eik?r?kuk(r)?2m02m0?irE(k)??k(r)??E(k)?e?kuk(r)???k(r)?kE(k)ik?r????????????????(1)
（1）为薛定谔方程的右侧部分，将（1）用薛定谔方程的左侧部分代替，并进行左右侧内容的对调，可得
??22m?2?eik?r?kuk(r)??U(r)?eik?r?kuk(r)??E(k)?eik?r?kuk(r)?0?ir???22???22???2m??k(r)?U(r)?k(r)??????ir?k(r)??U(r)?ir?k(r)????k(r)?kE(k)0??2m0??2??2m(ir)??2?2k(r)????ir?k(r)???k(r)?kE(k)0??eik?r?kuk(r)也为布洛赫波函数，所以
??22m?2?eik?r?kuk(r)??U(r)?eik?r?kuk(r)??E(k)?eik?r?kuk(r)??0 0又因为
(ir)??2?ik?rk(r)???ir?k2?eu?r2k(r)?2r?k?eik?uk(r)?ir?eik?r?uk(r)
?2?ir?k(r)???2k?eik?ruk(r)?2i?eik?r?uk?rk(r)?ir?k2?eik?ruk(r)?2r?k?ei?uk(r)?ir?eik?r?2uk(r)
而
??k(r)?ik?eik?ruk(r)?eik?r?uk(r) 所以
(ir)??2?(r)???2?ir?2kk(r)??i??k(r)
所以
??22m?(ir)??2?k(r)???2?ir?k(r)????k(r)?kE(k)02
???i?m??k(r)??k(r)?kE(k)?00上式乘以??k(r)并对晶体进行积分
为
因?i??2?3??k(r)??k(r)?kE(k)?dr?0 ??(r)??m0?*k所以
1*?*33?(r)?(r)?E(k)dr??(r)??(r)dr k??kkk?i?m0k1*113*3?(r)?(r)?E(k)dr??E(k)?(r)?(r)dr??kE(k) kkk?kkk????所以
v?1??kE(k)
6、已知一维晶体的电子能带可写成
?h2E(k)71m2(?cos2?ka?cos6?ka) 0a88式中：a为晶格常数。试求： （1） 能带的宽度
（2） 电子的波矢k状态时的速度 （3） 能带底部和顶部电子的有效质量 【解】
（1）由E（k）关系得
dE?2dk?h2m(3sin32?ka?1sin2?ka) 0a4令
dEdk=0得 sin2?2ka?112 1所以 cos?2ka???2?11??12?? d2E??2h2求 (18s2dk2min?k2ac?oks?a21ikn02?s a1当cos2?ka??2?11?d2E?12??时，dk2>0 对应E(k)极小值
)2d2E?11?当cos2?ka????时，2<0 对应E(k)极大值
dk?12?12求得Emin和Emax即可得能带宽度
?11?将cos2?ka???代入得
?12?12?E?Emax?Emin2?11?h ?2???12?m0a32（2）v(k)?1dE?h1?(3sin32?ka?sin2?ka) hdkm0a4（3）能带底和顶部电子有效质量分别是
?m?*n带底?1?d2E????2?2???4.18m0 ??h?dk?带底???1?m?
*n带顶?1?d2E????2?2????4.18m0 ?h?dk?带顶????17、设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec（k）和价带极大值附近能量Ev（k）分别为：
h2k123h2k2h2k2h2(k?k1)2和Ev(k)?； EC(k)?＋－3m0m06m0m0m0为电子惯性质量，k1＝1/2a；a＝0.314nm。试求： ①禁带宽度；
②导带底电子有效质量； ③价带顶电子有效质量；
④价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。 [解] ①禁带宽度Eg
2h2(k?k1)dEc(k)2h2k根据＝＋＝0；可求出对应导带能量极小值Emin的k值：
dk3m0m03kmin＝k1，
4由题中EC式可得：Emin＝EC(K)|k=kmin=
h2k1； 4m0由题中EV式可看出，对应价带能量极大值Emax的k值为：kmax＝0；
h2k12h2k12h2并且Emin＝EV(k)|k=kmax＝；∴Eg＝Emin－Emax＝＝ 212m6m048m0a0(6.62?10?27)2＝＝0.64eV ?28?82?1148?9.1?10?(3.14?10)?1.6?10②导带底电子有效质量mn
2d2EC2h22h28h232dEC?m0?3.4?10?31kg ；∴ mc??/???2dk83m0m03m0dk2③价带顶电子有效质量m’
d2EV1dEV6hm?h/??m0??1.5?10?31kg2，∴ ??dk62m0dk22*v2④准动量的改变量
h△k＝h(kmin-kmax)=
33??k1??7.9?10?25(kg?m/S) 48a[毕]
、