??cos40???cos40??cos80??cos40??2cos60?cos20? ?sin80?sin80?cos40??cos20?2cos30?cos10???3，
sin80?cos10?
所以，原式＝１．
34【例9】 已知sinα?cosβ?,cosα?sinβ?，求cos?sin?的值．
55解1：令β?π?γ，则原题等价于： 234已知sinα?sinγ?,cosα?cosγ?，求cosαcosγ的值．
55两式分别和差化积并相除得：tanα?γ??1??tan?72??. cos?α?γ???225α?γ??1??tan?2??2α?γ3?，所以 241分别将已知两式平方并求和得：cos?α?γ???,
2所以，cosαcosγ?1?cos?α?γ??cos?α?γ????11. 2100341解2：由sinα?cosβ?,cosα?sinβ?平方相加得：sin?α?β???．
552上述两式平方相减得：cos2β?cos2α?2sin?α?β???7． 257， 25将上式前两项和差化积，得：2sin?α?β?sin?α?β??2sin?α?β???17结合sin?α?β???，可解得：sin?α?β???．
225所以，cosαsinβ?
1?sin?α?β??sin?α?β????11． 2100m?2sinx?π?在区间?0,?上单调递减，试求实数m的取值
cosx2????π?2?【例10】 已知函数f?x??范围．
解：已知条件实际上给出了一个在区间?0,?上恒成立的不等式． ?π?任取x1,x2??0,?，且x1?x2，则不等式f?x1??f?x2?恒成立，
?2?即
m?2sinx1m?2sinx2?恒成立．
cosx1cosx2化简得m?cosx2?cosx1??2sin?x1?x2?
第6页（共33页）
由0?x1?x2?所以m?π可知：cosx2?cosx1?0， 22sin?x1?x2?
cosx2?cosx1上式恒成立的条件为：m????2sin?x1?x2???π??在区间?0，?上的最小值. ?cosx?cosx?2?21??x1?x2x?x2x?x2cos12cos12sin?x1?x2?222由于 ??x1?x2x1?x2x1?x2cosx2?cosx12sinsinsin2224sinxxxx?xx??2?cos1cos2?sin1sin2?2?1?tan1tan22222?22????xxxxxxtan1?tan2sin1cos2?cos1sin2222222???
且当0?x1?x2???x2xxxxππ时，0?1,2?，所以 0?tan1,tan2?1, 222422x??2??x2x?2???x??2??x?2?从而 ?1?tan1tan2???tan1?tan2???1?tan1??1?tan2??0,
xx??2?1?tan1tan2?22??2, 有 ?x1x2tan?tan22故m的取值范围为(??,2].
【例11】 △ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知又△ABC的面积为S△ABC?33,求a?b的值. 2解：∵ A+B+C=π，
tanC=3,c?7, 2?tgC?3,?C?60° 77由c?,得a2?b2?2abcos60°?()2.??①22由SABC?33133,得absin60°?.???② 22249?22,③?a?b?ab? 由①、②得方程组?4?ab?6④?③?④×3得(a?b)2?11121,∴a?b?4 2
【例12】 在?ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a?c?2b，求
ACctg·ctg的值 22解：由条件，2b?a?c，依据正弦定理，得
第7页（共33页）
2·2RsinB?2R?sinA?sinC? 2sin?A?C??sinA?sinCA?CA?CA?CA?C4sincos?2sincos2222在?ABC中，sin∴coscosA?C?0 2A?CA?C ?2cos22ACACACACcos?sinsin?2coscos?2sinsin 22222222A2CAC?coscos 222∴3sinsincosACcos22?3； 即ctgActgC?3 ∴
AC22sinsin22三角函数的图象与性质
【例1】 试确定下列函数的定义域
tg(x?)sinx14?1；⑵y?⑴y?log2 sinxlg(2cosx?1)?解：⑴要使函数有意义，只须满足条件
1?log?1?0?sinx??5??1解得：{x|2k??x?2k??,k?Z}?{x|2k???0?x?2k???,k?Z} ?sinx66??sinx?0??⑵要使函数有意义，只须满足条件
???tg(x?4)有意义???sinx?0 解得{x|2k??x?2k??,k?Z} ?3?lg(2cosx-1)?0???0?2cosx-1?1
【例2】 求函数y?3sin3xsin3x?cos3xcos3xcos22x3?sin2x的最小值
解：∵sin3xsinx?cos3xcosx
第8页（共33页）
??sin3xsinx?sin2x??cos3xcosx?cos2x1??cos2x?cos4x?sin2x??cos2x?cos4x?cos2x21?sin2x?cos2xcos2x?cos2x?sin2xcos4x 21??cos2x?cos2xcos4x?21?cos2x?1?cos4x??cos32x2????????
∴y?????sin2x?cos2x?sin2x?2sin2x???
4?cos22x?cos32x???当sin?2x????1时，y最小值?2
4??【例3】 已知函数f(x)=2asin2x－23asinxcosx+a+b－1，（a、b为常数，a<0），
它的定义域为[0,
π]，值域为[－3,1]，试求a、b的值。 2解：f(x)=2asin2x－23asinxcosx+a+b－1 =a(1－cos2x)－3asin2x+a+b－1 =－2asin(2x?)?2a?b?1
π6???71π ∴≤2x+≤π ∴?≤sin(2x?)≤1
262666?∵a<0 ∴a≤－2asin(2x?)≤－2a
6?∴3a+b－1≤－2asin(2x?)+2a+b－1≤b－1
6∵0≤x≤
4??b?1?1a???∵值域为[－3,1] ∴? ∴?3 ?3a?b?1??3?b?2??【例4】 已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?)的图象在y轴上的截
2距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0,2）和（x0?3?,?2）. （1）求f(x)的解析式；
1（2）将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将所得图象
3向x轴正方向平移
?个单位，得到函数y=g(x)的图象.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作3图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.
解：（1）由已知，易得A=2．
1T?(x0?3?)?x0?3?，解得T?6?,???． 23 第9页（共33页）
把（0，1）代入解析式y?2sin(??)，得
x32sin??1．又???2，解得???6x?．∴y?2sin(?)为所求．
36?(2)压缩后的函数解析式为y?2sin(x?)再平移，
6得g(x)?2sin(x?xππ?)?2sin(x?)
6362? 37? 65? 33? 27? 6x x?π 6?6 ) 0 0 ? 2? 0 2? 0 2sin(x??62 -2
sin2x?3sinx?3【例5】 求函数y?的最值，并写出使函数y取得最值的x的集
2?sinx合。
解：令u?2?sinx，则1?u?3， u2?u?11∴函数y??u??1?2?1?1
uu当且仅当u?1时，y最小值?1
函数y取得最小值的x的集合?xx?2k??????，k?Z? 2?又函数y?u??1在u??1，3?是单调递增的 证明如下：1?u1?u2?3 y1?y2?u1?u?u111?u2???u1?u2??2u1u2u1u2????1u?1??u1?u2???1?uu12?
∵u1?u2 0?
∴u1?u2?0
111?1，0??1，0??1 u1u2u1u21u∴y1?y2?0，即y1?y2，∴y?u??1在u??1，3?是单调递增的 ∴当u?3时，函数y最大值?3??1?2
1313 第10页（共33页）