函数y取得最大值的x的集合?xx?2kπ?，k?Z?
???π2?【例6】 ?ABC中，已知三内角A、B、C依次成等差数列，求cos2A?cos2C的取值范围。
解：由已知得B?60?，A?C?120? cos2A?cos2C?1?cos2A1?cos2C1???cos2A?cos2C??1 2221cos?A?C? 2?cos?A?C?cos?A?C??1?1???120??A?C?120?，???115?1?cos?A?C??2241?cos?A?C??12
?15?即cos2A?cos2C的取值范围为?，?
?24?【例7】 已知??0，??0，且????y?2?，问当?、?分别取何值时， 31?cos?π?α?1?sin2β取最大值，并求出此最大值。
αα2cot?tan22解：y?111?cos2?1?sin2??sin?·cos??sin2???sin2??sin2??
1?cos?1?cos?222?sin?sin?12?sin???????sin?????
23?cos?????sin??????cos2?，3
2?2?2?2??0???，0???，??????3333???0，??0，且????2??????????????312 此时，由?解得???????????7???122??【例8】 在ΔABC中，求sin2ABC的形状，并说明理由. 解：令y?sin2?ABC?sin2?sin2的最小值.并指出取最小值时Δ222ABC1?cosA1?cosB1?cosC ?sin2?sin2???2222223131A?CA?CB?(cosA?cosB?cosC)??(2coscos?1?2sin2)
2222222A?CBA?C?B?sin ??，∴cos22222∵在ΔABC中，
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又cos∴y?A?C?1. 231BBBBB13?(2sin?1?2sin2)?sin2?sin?1?(sin?)2? 222222224A?C?cos?1?3?2当?时，y取得最小值；
4?sinB?1?22?由cosB1BA?C?1知A=C，由sin?知?30?，B=60°； 2222故A=B=C=60°， 即y取最小值
3时，ΔABC的形状为等边三角形. 4【例9】 已知函数f(x)=2cosxsin(x+(1)求函数f(x)的最小正周期；
?3)－3sin2x+sinxcosx
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［
7ππ－－
，］时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值. 1212解：(1)f(x)=2cosxsin(x+=2cosx(sinxcos
?3)－3sin2x+sinxcosx
?3+cosxsin
?3)－3sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+∴f(x)的最小正周期T=π (2)当2x+
?3)
?5ππ=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. 3122?3)=1，又x∈［
π7π］, ,22(3)令2sin(2x+∴2x+x=
ππ3ππ5π∈［,］,∴2x+=，则 33236ππ－
，故f-1(1)=. 44【例10】 已知α、β为锐角，且x(α+β－＜2对一切非零实数都成立. 证明：若x＞0，则α+β＞
πcosβxcosαx)?())＞0,试证不等式f(x)=(sinβsinα2?， 2 第12页（共33页）
∵α、β为锐角，∴0＜∴0＜sin(
ππππ－α＜β＜;0＜－β＜, 2222?π－α)＜sinβ.0＜sin(－β)＜sinα， 22∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα, ∴0＜
cos?cosα＜1,0＜＜1, sinβsin?∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2. 若x＜0,α+β＜
π, 2∵α、β为锐角，0＜β＜
?ππππ－α＜,0＜α＜－β＜,0＜sinβ＜sin(－α), 22222πcosβcosα－β),∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1, 2sinβsinα∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin(
∵f(x)在(－∞,0)上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立.
【例11】 设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围. 解法一：∵z1=2z2，
?m?2cos?∴m+(2－m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴? 22?m?2??2sin??∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－当sinθ=
129)－. 4819时λ取最小值－，当sinθ=－1时，λ取最大值2. 48??m?2cosθ解法二：∵z1=2z2 ∴? 2?2?m?2λ?2sinθ?m?cosθ??2?∴?, 22?m?2λ?sinθ??2?m2(2?m2?2λ)2∴=1. ?44∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4,
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???0?3?4λ??4?0?22
令f(t)=t－(3－4λ)t+4λ－8λ,则?或f(0)·f(4)≤0 2?f(0)?0???f(4)?09?λ???8?3?5∴???λ?或0?λ?2
4?4?λ?2或λ?0??9≤λ≤0或0≤λ≤2. 89∴λ的取值范围是［－，2］.
8∴－
【例12】 如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？
解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：
?S?Lcos??v0tcos???12 ?h??Lsin??v4sin??gt0?2?由①②整理得：v0cosθ=
① ②
Lcosα?Lsinα1,v0sinθ??gt. tt2122L2122L2∴v0+gLsinα=gt+2≥2gt?2=gL
4t4t2
运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh=
1mv02, 2v022gh?∴v0=2gh,∴L≤=200(m)
g(1?sinα)g(1?sinα)2
122S2?h2L2?2. 即Lmax=200(m),又gt=2tt4∴t?2L2L,S?Lcosα?v0tcosα?2gh?cosθ gg得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值为200米，当L最大时，起跳仰角为30°.
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【例13】 如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数：
y=Asin(ωx+φ)+b；(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式.
解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；
(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.
12?11π=14－6,解得ω=,由图示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，这时?8222??3?y=10sin(x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=π.综上所求的解析式为y=10sin(x+
4883π)+20,x∈［6,14］. 4∴
【例14】 已知函数f?x??sin?x???sin?x???acosx?b（a,b?R，且均为常
???π?6??π?6?数），
（1）求函数f?x?的最小正周期；
?π?（2）若f?x?在区间??,0?上单调递增，且恰好能够取到f?x?的最小值2，试求a,b?3?的值．
解：研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如wx??）、一种三角函数的形式．
π?π???（1） f?x??sin?x???sin?x???acosx?b
6?6???π?2sinxcos?acosx?b
6?3sinx?acosx?b?a2?3sin?x?θ??b
（其中?由下面的两式所确定：sinθ?所以，函数f?x?的最小正周期为2π．
aa?32,cosθ?3a?32）
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