答：
（1）连续体的形变分量（和应力分量）不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量存在，相容方程也因此成为判断弹性力学问题解答正确与否的依据之一。
（2）对于按位移求解（位移法）和按应力求解（应力法）两种方法，对弹性力学问题进行求解时位移法求解不需要将相容方程作为基本方程。
（3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进而再求出形变分量和应力分量。
5、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，
fx?0,fy??g（ρ为杆件密度，g为重力加速度），并设μ=0。
试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14分） （平面问题的平衡微分方程：位移分量表示的
应力分量表达式：σx?E?v?u?yE1?μ2?σx?x???yx?y?fx?0，
?σy?y???xy?x?fy?0；用
(?u?x?μ?v?y)，σy?E1?μ2(?v?y?μ?u?x)，
τxy?2(1?μ)?x(?)）
解：据题意，设位移u=0，v=v(y)，按位移进行求解。
根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：
E1??E1??22(?u?x222?1???u2?y222?1???v2?x?y22)?fx?0,
(a)
(?v?y2?1???v2?x2?1???u2?x?y)?fy?0.
(b)
将相关量代入式(a)、(b)，可见(a) 式（第一式）自然满足，而(b) 式第二
式成为
?v?y22???gE
可由此解出
v???g2Ey?Ay?B.
2
(c)
本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且
(v)y?0?0,(?y)y?l?0
将(c)代入，可得B?0，A?反代回(c)，可求得位移：
?gEl
?g2Ev?(2ly?y)2
σy??g(l?y)
23?qy2?y3qx?yyy?????43?3?1??23??6、设有函数??， ???4?hh5?hh??（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）
（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h）。（15分）
解： （1）将φ代入相容方程
应力函数。
?Φ?x44?2?Φ?x?y224??Φ?y44?0，显然满足。因此，该函数可以作为
Oh/2xh/2y（2）应力分量的表达式：
?x??y????y222?6qxy2hq?3?4y34qy3h?3?3y3qy3h??1???,???x2???32?h?2h
?xy2?6qx?h2???????y3???x?yh?4??? 考察边界条件：在主要边界y＝±h/2上，应精确满足应力边界条件
???yy??h23?q?4y3y??????1??q 3??2?hh?y??h2???yy?h23?q?4y3y??????1?0 3??2?hh?y?h2???xyy??h226qx?h2????3??y?0??h?4?y??h2
在次要边界x＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
?4qy33qy??h/2??x?x?0dy???h/2??h3?3h?h/2h/2h/2h/2??dy?0????ydy?0??(奇函数)
?4qy33qy??h/2??x?x?0ydy???h/2??h3?3h?
?h/2?h/2???xydy?0x?0
在次要边界x＝l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
?6ql2y4qy33qy??h/2??x?x?ldy???h/2???h3?h3?3h?h/2h/2h/2h/2??dy?0???ql?ydy???2?(奇函数)
?6ql2y4qy33qy??h/2??x?x?lydy???h/2???h3?h3?3h?26ql?h2?????ql???dy???y??h/2xyx?l??h/2h3?4???h/2h/2
对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发
生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。
所以,能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。
2009 ~ 2010学年第 二 学期期末考试试卷 （ A ）卷
一． 名词解释（共10分，每小题5分）
1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 二． 填空（共20分，每空1分）
1. 边界条件表示在边界上 位移 与 约束 ，或 应力 与 面力 之间的关
系式，它可以分为 位移 边界条件、 应力 边界条件和 混合 边界条件。 2. 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为
-2-2
LMT ；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为 L-1MT-2 ；体力和面力符号的规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力；
-1-2
应力是作用于截面单位面积的力，属 内 力，应力的量纲为 LMT ，应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。 3. 小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 孔附近的应力高度集中 ，即孔附
近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 应力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。 4. 弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。
三． 绘图题（共10分，每小题5分）
分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。
图3-1
图3-2
四． 简答题（24分）
1. （8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时
有什么用途？ 答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）
1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。
3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。
4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。
5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。
2. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有
哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：
平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量?x,?y,?xy存在，且仅为x,y的函数。 平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平