行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量?x,?y,?xy存在，且仅为x,y的函数。 3. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数?求解，应力
函数?必须满足哪些条件？
答：（1）相容方程：?4??0
（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，s?s?）：
??l?x?m?yx??fx?s??m?y?l?xy?s?fy???在s?s?上?
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 五． 问答题(36)
1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚??1）
图5-1
解：在主要边界y??h2上，应精确满足下列边界条件：
???yy??h2??qxl，?yx??y??h2?0； ???yy??h2?0，?yx??y??h2??q1
在次要边界x?0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚??1时，
?h2?h2?h2??h2??x?x?0dy??FN，??h2??x?x?0ydy??M，??h2???xyx?0dy??FS
在次要边界x?l上，有位移边界条件：?u?x?l?0，?v?x?l?0。这两个位移边界条
件可以改用三个积分的应力边界条件代替：
??h2??x?x?0dy?????h2xy?h2x?0?h2??FN?q1lql2，
3??h2??x?x?0ydy?h2??M?FSl?ql62?qlh2，
dy??FS?2. （10分）试考察应力函数??cxy，c?0，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。
图5-2
解：（1）相容条件：将??cxy代入相容方程（2）应力分量表达式：?x????y223
?2???x?y224???xy44????y244?0，显然满足。
?6cxy，?h2?0，?xy??3cy
（3）边界条件：在主要边界y??上，即上下边，面力为??y?y??h2??3chx，
???xyy??h2??34ch
2在次要边界x?0,x?l上，面力的主失和主矩为
??h2???h2??x?x?0dy?0??h2????h2??x?x?0ydy?0??h2c3??h22???dy??3cydy??hxyx?0????h2?h24?
??h2???dy??h26clydy?0??h2???h2xx?l?3?h2clh??h22 ???h2??x?x?lydy???h26clydy?2??h2c3??h22???dy??3cydy??hxyx?0????h2?h24?弹性体边界上的面力分布及在次要边界x?0,x?l上面力的主失量和主矩如解图所示。 3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为?，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3
所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量?x?0 ）
图 5-3
解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量?x?0，
(1) 假设应力分量的函数形式。?x?0
x(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为fx?0,fy??g。将?力公式?x????y22?0代入应
有?x????y22?0对x积分，得
???y?f?x?，
（a）
??yf?x??f1?x?。 （b）
其中f?x?，f1?x?都是x的待定函数。
(3)由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程??0，得 ydf?x?44dx4?df1?x?4dx4?0
这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y值都应该满足），可见它的系数和自由项都必须等于零。程要求
f?x??Ax?Bx?Cx，f1?x??Dx?Ex (c)
3232df?x?4dx4?0，
df1?x?4dx4?0，两个方
f?x?中的常数项，f1?x?中的一次和常数项已被略去，因为这三项在?的表达式
中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数
??yAx?Bx?Cx?Dx?Ex?32??32? (d)
（4）由应力函数求应力分量。
?x????x22???y22?xfx?0， (e)
?y??yfy?6Axy?2By?6Dx?2E??gy， (f)
???x?y2?xy????3Ax?2Bx?C. (g)
2(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边x??b2的主要边界条件：
??x?x??b2?0，??xy?x??b2?0，??xy?x??b2?q。
将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：
??x?x??b2?0，自然满足； ??xy?x??b2??34Ab?Bb?C?0 (h)
2???xyx??b2??34Ab?Bb?C?q (i)
q2b2由（h）（i） 得 B?? （j）
考察次要边界y?0的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为
?????b2y?b2dx?y?0??6Dx?b2?b2?2E?dx?2Eb?0； 得 E?0
?????b2y?b2xdx?y?0??6Dx?b2?b2?2E?xdx?Db23?0， 得 D?0
3
?????b2xy?b2dx?y?0??b2?bqAb??2??3Ax?x?C?dx??2b4??qb2?bC?0 （k）
q4由（h）（j）（k）得 A??, C?
将所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分量为：
?x?0，?y??6qb2xy?qby??gy， ?xy?3qb2x?2qbx?q4
一、填空题（每个1分，共10×1=10分）。
1．弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套
方程，即 方程、 方程以及 方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。
2．弹性力学基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。
1．平衡微分 几何 物理 应力 位移
2．连续 均匀 各向同性 完全弹性 小变形 二、单项选择题（每个2分，共5×2=10分）。
1. 关于弹性力学的正确认识是 A 。
A. 弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。
B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题
作假设。 C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。
D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 2. 所谓“完全弹性体”是指 B 。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律。
B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。
C. 本构关系为非线性弹性关系。
D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
3. 所谓“应力状态”是指 B 。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。
B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变。 C. 3个主应力作用平面相互垂直。 D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 4．弹性力学的基本未知量没有 C 。
A. 应变分量。 B. 位移分量。 C. 面力分量。
D. 应力分量。
5．下列关于圣维南原理的正确叙述是 D 。
A. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。 B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形。 C. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意
平移。 D. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应
力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响比较小。
三、计算题（共15分）
如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为?的液体，右侧为自由表面。试写出以应力分量表示的边界条件。
解：在平面应力边界条件下，应力须满足