???xl??yxm?fx （1） ………………………………(5) ????xyl??ym?fy在x?ytg?表面处，l?cos?， ………………………………(1)
m??sin?； ………………………………(1)
fx?0， ………………………………(1) fy?0 ………………………………(1)
代入公式（1），得
??xcos???yxsin??0 ………………………………(1) ??cos???sin??0y?xy在x??ytg?处，l??cos?， ………………………………(1)
m??sin?； ………………………………(1)
fx??ycos?， ………………………………(1)
fy??ysin? ………………………………(1)
代入公式（1），得
???xcos???yxsin???ycos? ………………………(1) ???cos???sin???ysin?y?xy
四、计算题（共10分）
试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件？
?x?Axy，?y?By，?xy?C?Dy；
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
??x?y2222232???y?x2???xy?x?y ………………………………(4)
将各分量分别代入，得 ??x?y22=0， ………………………………(2) =0， ………………………………(2) =0 ………………………………(2)
??y?x22??xy?x?y无论A、B、C、D取何值，都满足形变协调条件。
五、计算题（共25分）
已知物体中某点的应力分量为?x?200a，?y?0，?z??100a，?xy?400a，?yz?0，?zx?300a。试求作用在通过此点，且平行于方程为x?2y?2z?6的平面上，
沿x、y、z方向的三个应力分量pvx、pvy、pvz，以及正应力?v和剪应力?v的大小（若用小数表示，取小数点后三位数）。
五、解：l?11?2?2222?132323， ………………………………(1)
m?21?2?221?2?2222222?， ………………………………(1)
n?? ………………………………(1)
pvx?l?x?m?yx?n?zx ………………………………(1)
? 0………………………………(1) ?3a03331600?a ………………………………(1)
3?200a?40a0?122pvy?l?xy?m?y?n?zy ………………………………(1)
??13?400a?0? 0 ………………………………(1) a ………………………………(1)
40031pvz?l?xz?m?yz?n?z ………………………………(1)
??31003?300a?0?23?100a ………………………………(1))
a ………………………………(1))
?v?pvxl?pvym?pvzn ………………………………(2)
?1?1600a?2?400a?2?100a ……………………………(1)
3333332600?a ………………………………(1)
9?v?(pvx)?(pvy)?(pvz)?(?v) ………………………………(2)
2222?(1600a3)?(2400a3)?(2100a3)?(22600a9) ………………(1)
2?4.689a ………………(1)
六、计算题（共30分）
如图所示的矩形截面柱体，在顶部受到集中力F和力矩M?Fb的作用，试用应力函数??Ax?Bx求解图示问题的应力，设体力为零，在A点的位移和转角均为零。 解：应用应力函数求解：
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（1） 应力函数应满足相容方程，即
??44?x?x?y?y………………………(5)
将??Ax3?Bx2代入相容方程，则满足。
（2） 求应力分量，得
?2??242???44?0 ………
?x………………………………(3)
?y…………………………(3)
?y?2??22?fy?y?6Ax?2B，
?x???2?fx?x?0。 ……
?xy?????x?y2?0 ………………………………(3)
（3） 考察主要边界条件，
在x??b处，?x?0，?xy?0，均已满足。
考察次要边界条件，根据圣维南原理，在y?0上， …………………………(2)
(?yx)y?0?0，满足； ………………………………(4)
?? ?b?bb?b(?y)y?0dx??F，得B??(?y)y?0xdx?Fb，得A?F4bF2 ………………………………(4) ………………………………(4)
4b代入，得应力的解答，
y?F2b(3xb?1)，?x??xy?0 ………………………………(2)
4上述?和应力已满足了???0和全部边界条件，因而是上述问题的解。
A试卷
1、 基本概念解释（24分，6小题） （1） 弹性力学的基本假定 （2） 平面应变问题 （3） 平面应力问题 （4） 圣维南原理 （5） 逆解法
2、 简单题（40分，4题） (1) 列出图示全部边界条件。
(2) 求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程 A： ??F2h23
xy(3h?4y)
4222B：??qx4(4yh33?3yh?1)?qy102(2yh33?yh)
(3) 根据圣维南原理，比较图示中OA边的面力是否等效，h??b。
3、 综合题（36分）
（1） 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如图），体力不计，l??h，试
用应力函数??Axy?By2?Cy33?Dxy求解应力分量。
（2） 矩形截面的长柱，密度为?，在一边侧面上受均布正应力q，试求应力分量，体力
不计。