函数练习题
(b2?2)x?(a?b)b2?2?a?b1（2）?f(f(x))? ,?f(f(1))??222(a?b)x?(a?2)2a?2b?a?281?a?2b，代入上式得2b2?9b?7?0， 477解得b??1或b??;当b??1时a??2,此时ab?2，不合，?b??,a??7.
22而b?2a?10．设另一个圆的半径为y，则2x?x?2y?y?2?(2?1)(x?y)?2
?x?y?22?1?2?2， ?S?f(x)??(x2?y2)??[x2?(2?2?x)2]
??[2x2?2(2?2)x?(6?42)]??[2(x?2?22)?(3?22)]， 231?2?x?（注意定义域为闭22∵当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另一圆半径最小，∴函数的定义域为
区间） ?2?231313?[?2,],?Smin??(3?22);?f(?2)?f()?(3?22), 222222?Smax?3?3?(3?22)，∴函数S?f(x)的值域为[?(3?22),(3?22)]. 222.2函数的定义域和值域
1．{x|x?0,且x?1} 2．(?a,1?a) 3．5；1 4．C 5.C 6. D 7．A（提示：?u??x?4x??(x?2)?4,?0?u?4，然后推得）. 8. B
2213,1) ②(??,1]?[2,3]?[4,5 ③ x?{x|x??1且x??2且x??} ）223511,??) ③y?[,4] ④y?(??,1] ⑤y?[?,] 10．①y?(,4) ②y?[115262121111．?f(x)?(x?)?，∴对称轴为x??，
2221147 （Ⅰ）?3?x?0??，∴f(x)的值域为[f(0),f(3)]，即[?,]；
24411（Ⅱ）?[f(x)]min??,?对称轴x???[a,a?1]，
229．①x?[?1,?]?(?121?a???311?2?????a??， ∵区间[a,a?1]的中点为x0?a?，
222?a?1??1?2?（1）当a?111111??,即?1?a??时，[f(x)]max?f(a?1)?,?(a?1)2?(a?1)??， 22216416第 16 页 共 29 页
函数练习题
39?16a2?48a?27?0?a??(a??不合）；
441131（2）当a???,即??a??1时，[f(x)]max?f(a)?，
222161151?a2?a??,?16a2?16a?5?0?a??(a?不合）；
4164435 综上，a??或a??.
4412．?x?x?1的判别式恒小于零，∴函数的定义域为R，∴原函数等价于
2(y?1)x2?(y?a)x?(y?2)?0,??(y?a)2?4(y?1)(y?2)?0，
即3y2?(2a?4)y?(a2?8)?0的解集为[－2，2]（其中包含y=1），
?y1??2,y2?2是方程3y?(2a?4)y?(a?8)?0的根，
?a2?a?7?0???0????y1?y2?0??a?2?a?2. ?y?y??4?a2?4?12?2.3函数的单调性
1．C 2．D 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.A 9．3 10．
22f?(x)?12x?1, x?a
令f?(x)?0,得12x?1?2x?x?a?4x?(x?a)2,x?a
?f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0,
同样,f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0,22???(2a?4)?4a?16(1?a),
（1）当a.>1时，对x∈（0，+∞）恒有f?(x)>0， ∴当a.>1时，f(x)在（0，+∞）上为增函数；
（2）当a=1时，f(x)在（0，1）及（1，+∞）都是增函数，且f(x)在x=1处连续，∴f(x)在（0，+∞）内为增
函数；
22
（3）当00，解方程x+(2a－4)x+a=0
得x1?2?a?21?a,x2?2?a?21?a,显然有x2?0,
而x1?a22?a?21?a?0,
?f(x)在(0,2?a?21?a)与(2?a?21?a,??)内都是增函数,而在(2?a?21?a,2?a?21?a)内为减函数.第 17 页 共 29 页
函数练习题
11．（I）?f?(x)?xx?12?a，
时,?①当a?1xx2?1?|x|x2?1?1?a,?f(x)在[0,??)上单调递减
2②当0
由f′(x)>0得x?ax?1?x?2a1?a2;
a1?a2 ∴当0
∴当0
（另证）令f(x) =1?x2?1?1?ax?x[(1?a2)x?2a]?0?x1?0,x2?2a
21?a 当0
（II）由（I）①知当a≥1时f(x)单调递减，不合； 由②知当f(x)在[1,??)上单调递增等价于：
a1?a2?1,
?0?a?22，即a的取值范围是(0,]. 2211x,; 8．; 9．(－3,0)∪（3，+∞） 2231?x1?x2.4 函数的奇偶性
1.A 2.A 3．A 4．A 5．C 6．D 7．x<－1或x>－
10．[证明] 这是“抽象”函数问题，应熟练运用奇偶性、周期性、单调性的定义证明.
在[4，6]内任取x1、x2，设4≤x1 ??2??x2?4??x1?4?0,?f(x)在[?2,0]内为增函数,?f(?x1?4)?f(?x2?4)?f(?2)?0, ?f(x?4)?f(x),?f(?x)?f(x),?f(?x1)?f(?x2)?0,?f(x1)?f(x2)?0, ?当4?x1?x2?6时,有|f(x1)|?|f(x2)|?f(x1)?f(x2)?0,即|f(x1)|?|f(x2)|,故当x?[4,6]时,|f(x)|为减函数.12．∵f(x)为R上的偶函数， 第 18 页 共 29 页 函数练习题 ?f(?a2?2a?5)?f[?(?a2?2a?5)]?f(a2?2a?5), ?不等式等价于f(a2?2a?5)?f(2a2?a?1), 17?a2?2a?5?(a?1)2?4?0, 而2a2?a?1?2(a?)2??0,48 ∵f(x)在区间(??,0)上单调递增，而偶函数图象关于y轴对称， ∴f(x)在区间（0，+∞）上单调递减， ?由f(a2?2a?5)?f(2a2?a?1)得a2?2a?5?2a2?a?1?a?3a?4?0??4?a?1,2 ∴实数a的取值范围是（－4，1）. 2.5 反函数 1.B 2.D 3.C 4.D 5.C 6．B（提示：作一个示意图，如令f(x)?2x）.7．y?1??5x?24（提示：将 （4，3）与（3，4）分别代入原函数解析式，不必求出反函数）. 8. x ，x 9．①、②（提示：奇函数不一定是单调函数；例如y?1它不是单调函数（∵它有两个单调区间），但它是一一对应的，有反函数，∴②错）. x1?y1?yx?12)?x?,?x?1,??1?0?y?1. 10①设y?(x?11?y1?y即 f?11?x(x)?，f 1?x－1 （x）的定义域为?0,1?. ②设0?x?x?1,?0?x?x?1,?f?1(x)?f?1(x)?121212所以f(x)在?0,1?上单调递增. －1 2(x1?x2)(1?x1)(1?x2)?0, ?111．证明：（1）?y?f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，y?f(x)的值域也关于原点对称。y?f(x)的定义?1域关于原点对称，设x?C，存在t?A使f(t)?x，则f(x)?t， ?y?f(x)是奇函数，f(?t)??x，f?1(?x)??t，f?1(?x)??t??f?1(x)， 所以y?f?1(x)也是奇函数． （2）设x1,x2?C，且x1?x2，存在t1,t2?A，使f(t1)?x1，f(t2)?x2，由于y?f(x)在定义域上是增函数，所以t1?t2，即f 第 19 页 共 29 页 ?1(x1)?f?1(x2)，y?f?1(x)在定义域上也是单调增函数． 函数练习题 2.6 .幂、指数式与对数式 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.12 7．解：原式?(log223?log233)(log32?log322)?log12 2541115log23)(log32?log32)? 2324535555 ?log23?log32???? 62444218?1?log182?a，∴log182?1?a， 8．解：∵log189?a，∴log182 ?(log23?又∵18?5，∴log185?b， ∴log3645?blog1845log189?log185a?b ??log18361?log1822?a1?7， a9．10 10．?a?1a?3?(a?1a)2?9?a?11?(a?)2?49?a2?2?47， aa?aa?1aa1?a?a32?32?(a?a)[(a)2?a?a12?121212?12?(a)2] 12?(a?1)(a?1?)?3?6?18， aa而4a?14a?(4a?41a)2?a?2?1a?5， ?原式?(18?2)?(47?3)5?20?505?2005. 2.7 .指数函数与对数函数 1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6．(0,xxxx1（0，1）（0，1）?（1，4] 8．) 7．(?1,0)?29．（1）?a?b?0?a?b(?0)?()?1， abx?a?1a又????1,?x?0，故函数的定义域是(0,??). ?0?b?1b（2）问题的结论取决于f(x)的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法： ①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方法①最好. 第 20 页 共 29 页