好题速递251题
设m,k为正整数，方程mx2?kx?2?0在区间?0,1?内有两个不同的根，则m?k的最小值是 ．
解：mx2?kx?2?0?k?mx?2 x2的图象的x于是问题转化为直线y?k与打勾函数y?mx?两个交点的横坐标均在区间?0,1?内，于是22m?k?m?2 注意到m?2为整数，于是在区间22m,m?2上存在整数
k的充要条件为m?2?22m?1
??解得m?3?22 故m的最小值为6，而k的最小值为7，则m?k的最小值为13
好题速递252题
已知2x?y?1，求x?x2?y2的最小值是 ．
m2?y2解法一：令x?x?y?m，则x?
2m22m2?y2?y?1，整理得y2?my?m?m2?0 因此2?2m故用判别式??m2?4m?m2?0，解得m?
??4 5
解法二：设x?rcos?，y?rsin?，条件转化为2rcos??rsin??1，即r?所求代数式转化为rcos??r?由此可有斜率角度求值域：
cos??1的最小值
2cos??sin?1
2cos??sin?2cos??sin?2cos??2?sin??2sin??25（视为单位圆上的点与??1,2?连线斜??2??，
cos??1cos??1cos??14率），则x?x2?y2?cos??14?
2cos??sin?5也可由三角函数角度求值域：
cos??142?m?msin???2m?1?cos??1?m2??2m?1??1?m?
2cos??sin?51
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评注：这里因为遇到x2?y2的结构，故三角换元设x?rcos?，y?rsin?。 解法三：数形结合
当x?0时，点P为2x?y?1上的一点，则x?x2?y2?PO?PH 如图，就是典型的“饮马问题”，点O关于直线2x?y?1的对称点4?42?Q?,?到y轴的距离为
5?55?当x?0时，点P为2x?y?1上的一点，则x?x2?y2?PO?PH 而PO?OH?OB?2PH?1?PH 于是PO?PH?1
好题速递253题
如图，直线m与平面?，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面?上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是 ．
解：题意中是点O是定点，正四面体ABCD运动，但始终保持OB?OC不变
不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD固定下来，让点O在以BC为直径的球面上运动，如图所示。
接下来可以得到点O到直线AD的距离的取值范围就是球心F到直线AD的距离EF减去球的半径与球心F到直线AD的距离加上球的半径之间，即?22?2,22?2?
??
2
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好题速递254题
★已知a,b?R，对任意满足0?x?1的实数x，都有ax?b?1成立，则10a?7b?10a?7b的最大值是 ．
解法一：显然10a?7b?10a?7b?max?20a,14b? 于是问题转化为求a,b的最大值
当x?0时，容易得到b?1，由图可知直线y?ax?b在0?x?1上的值域为??1,1?的子集，于是斜率a必然在??2,2?内，故a?2
从而当a?2,b??1时，原式取到最大值为40 解法二：绝对值不等式 因为f?0??b?1,f?1??a?b?1
故a??a?b??b?a?b?b?2，同解法一
练习：若对任意满足?1?x?1的实数x，都有
2ax?b?xc1?成立，则a的取值范围是 ．
如图，易得?2?a?2
点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。
好题速递255题
????????????已知圆O:x2?y2?1为?ABC的外接圆，且tanA?2，若AO?xAB?yAC，则x?y的最大
值为 ．
解：如图，延长AO交边BC于点D，设AO??AD ????1????x????y????则AD?AO?AB?AC
???????????由B,C,D三点共线可知
x??y??1，从而x?y???AOAO?OD?1
1?OD显然当OD取最小值，即OD?BC时，x?y取得最大值，此时?ABC为等腰三角形，可得x?y?5?5 4
3
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好题速递256题
已知非零向量a和b互相垂直，则a?b和a?2b的夹角余弦值的最小值是 ．
????a?b?a?2b解：cos???????a?b?a?2b???????????2?2a?2b?2?2?2?2 a?ba?4b?2?2令a?x,b?y，
则cos??
x?2yx?yx?4y?x2?4xy?4y2x2?5xy?4y2?1?xyx2?5xy?4y2?1?122 ?93好题速递257题
已知正数a,b满足a?b???10，则a?b的取值范围是 ． 解：设a?b?t，则??10?t b9a?19?又因为?a?b?????1?9???16
ab?ab?1a9b1a9b即t?10?t??16，解得2?t?8
13当且仅当a?,b?时，a?b?2；当且仅当a?2,b?6时，a?b?8
22
好题速递258题
已知实数x,y?0，若x?2y?xy?2，则x?3y的最小值是 ． 解法一：待定系数法 1?y?xy???x??,??0
2???1?y?????1?2?x?2y?xy?x?2y???x????1??x??2??y 2????2??2??1?1????待定系数法，令?1??:?2???1:3，解得??
2??3?2??故x?3y?解法二：
1291，当且仅当x?,y?时取得 7774
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??x?3y??2??x?3?y?x?2y?xy????1?x??3??2?y?xy?2???1??3??2??1??xy 令2???1??3??2??1?0，即??解法三：三角换元
71291时，x?3y?，当且仅当x?,y?时取得 6777设a?x,b?y，原问题转化为a2?ab?2b2?2，求a2?3b2的最小值 令a?rcos?，b?r???sin?，???0,?，r?0，a2?3b2?r2 3?2?212故问题又转化为已知r2cos2??r2sin2??rsin?cos??2，求r2的最小值
33于是
22161???2?cos??sin??sin?cos???sin2???? 353?6?r2322?12????因为???0,?，故2??,3?
r?2??7?评注：这里又遇到a2??3b?2的结构，故可三角换元设a?rcos?，b?r3sin?，10月1日
每日征解有相同的处理方法。
好题速递259题
????1????????????1????已知?ABC中，CP?，CP?AB?1，点Q是线段AB上一点，且C?ACB22??????????1????
CQ?CP?，则CQ的取值范围是 ．
2????1????????????1????解：根据CP?CA?CB，CP?AB?1，可知A,B,C在
22??以AB为直径，以AB中点P为圆心的圆上。
????????1????又CQ?CP?，且CP?1，根据投影的几何意义为点Q在
2PC的中垂线上，又点Q在AB上，故点Q就是线段PC的中
垂线与线段AB的交点
又CQ?PQ，故问题转化为当点C在以AB为直径的圆上运动时，求PQ的取值范围 显然当Q与B重合时，PQmax?1，C与B接近重合时，PQmin? ?????1?故CQ??,1?
?2?5
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