tan2??1?23?a1?2?3?a??3?a?2a2?23a?2 123a2?63a?82a?23a?2a?3tan3??tan?2???????
a23?aa?3a2?23a11?2?a?23a?2a?3?2?3?a???????即a2?4，a?2
即?ABC是等腰直角三角形，故?ACE?135?，?AEC?15?
????????AEAC????2??所以，故AE?23?1
sin135?sin15?6?24??????AD1?3故????m????? ??2AE点评：本题入手是由三点共线，在处理的过程中利用三倍角的正切公式来处理条件中的二倍角关系，不知道是否有初中的平面几何知识可以迅速确定?ABC是等腰直角三角形。
好题速递278题
????????CA?CB????????????????? ． （须凌峰供题）已知2CA?CB?CA?2CB?0，则????AB????解法一：代数方法
????2????2????????????????????????由2CA?CB?CA?2CB?0得2CA?2CB?5CA?CB?0
????????????????????2CA2?2CB2故CA?CB?
5????????????????CA?CBCA?CB??????????????ABCB?CA????????2????2????2????????CA?CBCA?CB?2CA?CB?2????2?????????????????2????CA?CB?2CA?CBCB?CA9515???3 ????????CA?CB??????2????2CA?CB22解法二：几何方法
E
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B
C
G F D
H A
????????????????由2CA?CB?CA?2CB?0可以画出如右图的?CDE
????其中两条中线垂直，即AE?BD，且AB为?CDE的中位线。
注意到点G恰好是?CDE的重心，所以连结CG交AB于H，则H是AB的中点，即
????????????CA?CB?2CH
????????????CA?CBCH?????故????? ABAH????????????????CA?CBCHCH1?????又因为?ABG为直角三角形，故GH?AB?AH，所以???????????
2ABAHGH????CG2又G是?CDE的重心，所以?????，AB为?CDE的中位线，所以
3CF????????????CA?CBCH?????所以??????3 ABGH????CH1?????
2CF
好题速递279题
（赖尚毅供题）正方体棱长为1，M,P,Q为棱AA1,CD,BC的中点，则三棱锥M?D1PQ的体积VM?D1PQ? ． 解法一：等体积转换
如图1，B1D1//PQ，故S?PQD1?S?PQB1， 故VM?D1PQ?VM?B1PQ
再如图2，取AD的四等分点N，则MN//B1Q 故S?MQB1?S?NQB1，
VM?B1PQ?VP?MB1Q?VP?NB1Q?VB1?PNQ1?1111131?11??5
??1????????????1??1?3?2222242?24??48
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解法二：作面的延伸
本方法的初衷就是利用两个三棱锥的体积成比例，求出容易求的三棱锥体积，从而利用比例进行转化。 注意到三棱锥D1?MPQ与三棱锥D?MPQ是共底面
MPQ的，所以它们的体积之比就是D1到MPQ的距离
与D到MPQ的距离之比（H1:H2）。
如图，作QP与AG的延长线交于G，连结MG交DD1于H
VD1?MPQ:VD?MPQ?H1:H2?D1H:HD 易得GD?1HD1AD，故?，故D1H:HD?5:1 2MA311111322225 481 48而VD?MPQ??????所以VD1?MPQ?
好题速递280题
y2?1?a?2?和圆O:x2?y2?a2?4，椭圆C的左右焦点分别为F1,F2，过已知椭圆C:2?4ax2椭圆上一点P和原点O作直线PO交圆O于M,N两点，若PF1?PF2?6，则PM?PN? ．
?mn?6??????????解：先处理焦点三角形，设PF1?m,PF2?n，则?m?n?2a
?222?4c?m?n?2mncos?F1PF24a2?4c2?12b2?31?? 解得cos?F1PF2?1233又PM?PN??R?OP??R?OP??R2?OP ????1?????????因为PO?PF1?PF2，
22??????21?????????故PO?PF1?PF24??2?121?1?2m?n2?2mncos?F1PF2???2a??2?6?2?6???a2?2 44?3???所以PM?PN?R2?OP?a2?4?a2?2?6
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2????好题速递281题
（2012杭州一模）设对任意实数x?0，y?0．若不等式x?xy?a(x?2y)恒成立，则实数a的最小值为 ．
yx?xyx
解法一：a??x?2y1?2yx1?y1?t ?t，则g?t??1?2t2x令1?t?m，
令则g?t??1?tm1126?46?2 ?????1?2t21?2?m?1?22m?3?426?484m6?2 4故a的最小值为解法二：待定系数法
1?1??k?1?1?x?xy?x?(kx)?y??x??kx?y????1?x?y
k2k22k???????k?1?1:2 与题中所给不等式x?xy?a(x?2y)相比对，待定系数可得??1?:?2?2k解得k??6?2?6?2，故x?xy??
?4???x?2y?2??6?2 4故a的最小值为
好题速递282题
x2y2??1右支上一点，F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原已知P是双曲线
168???????????????????????????????????????PFPM2??PN?FN?0点，F1P??P?， ．若M??0?，PN???????PF??????22?2，则?PM?PF2??????ON? ．
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????????????????PFPM2?解：由PN??????????????知PN是?MPF2的角平分线
?PMPF2????????????又PN?F2N?0，故延长F2N交PM于K，则的角平分线又是高线，故?PF2K是等腰三角
形，PK?PF2?2
??????????????因为PF2?2，故PF，故?10FK?12 11????1?????注意到N还是F2K的中点，所以ON是?F1F2K的中位线，所以ON?F1K?6
2
好题速递283题
设a1?2，an?1?a?22?1,n?N*，则b2015? ． ，bn?nan?1an?1解：这种特殊的递推关系，一旦没有思路，先做几项找找规律就是最好的办法。 26算出a1?2,a2?,a3?,?，b1?3,b2?7,b3?15,?
35找规律发现b1?3?22?1,b2?7?23?1,b3?15?24?1,? 所以严格证明时就能想到办法，去证bn?1?2?2an?12?1an?1an?2an?1an?2是等比数列 an?1bn?1?1??bn?1an?2an?1an?1?2an?1?1?2，故bn?1?2n，得bn?2n?1，b2015?22015?1
点评：一般数列题中不常见的特殊递推关系或这为了应景而求有2015这样大数据出现时，题目往往有规律，例如周期数列或者能观察猜测出数列通项。由特殊到一般，完成题目。
好题速递284题
????????????????AB?2DC已知梯形ABCD，，且?1???AE??AC，双曲线过C,D,E三点，且以A,B为焦
点，当
23???时，离心率e的取值范围是 ． 34解：以线段AB的中垂线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，则CD?y轴
?c?设A??c,0?,C?,h?,E?x0,y0?
?2?20
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