3c????????????2?c?h??1????x0?c????由?1???AE??AC得?，y0? 2，即x0?21??1??????1???y0???h??c2?1(1)?2h?4a2?x2y2?设双曲线方程为2?2?1，则由点C,E在双曲线上，得? b2ab?2222c??2h????????2???1(2)2??1??1??4ab?????22e2e2???2??e2?????1?由（1）得2?2?1??1代入（2）得???????1 ??441??41??b4a??????h2c2整理得e2?因为
1?2?3 ??2?1??1??23???，故7?e2?10，7?e?10 34好题速递285题
已知圆心角为120° 的扇形AOB半径为1，C为?AB 中点．点D，E分别在半径OA，OB上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝
52，则OD＋OE的取值范围是 ．
解：设OD＝x, OE＝y. 利用余弦定理,得 DC2＝x2+1－x; EC2＝y2+1－y; DE2＝x2+y2+xy.
代入CD 2＋CE 2＋DE 2＝
51得2x2?y2??x?y??xy??0
22??1问题又转化为常见的代数问题：已知x,y??0,1?，2x2?y2??x?y??xy??0，求x?y2??的取值范围。
解法一：设x?y?t ，则xy?t2?t?
11??2于是x,y是关于z的二次方程z2?tz??t2?t???0的两个位于?0,1?上的实数根
36??323131621
数学微频道 公众号微信：sxwpd8
??2211?2???t?4?3t?3t?6??0????t0??1??1?52?14??2故?，解得t??,?
45211?t2?t??0???336??1?t?2t2?1t?1?0?336?112解法二：由2x2?y2??x?y??xy??0化简得3xy?2(x?y)?(x?y)?
22???0?3xy?3(x?y)2 413?(x?y)2 242故0?2(x?y)?(x?y)?解得1?52?14?x?y? 45
好题速递286题
若关于x的方程x2?为 ．
解：本题思路是转换主元，将关于x的方程x2?1???ax????b?0看成关于a,b的直线方2xx??11??a,b?R）有实数根，则a2?b2的最小值（其中?ax??b?0??x?x2?11?1???程?x??a?b??x2?2??0，于是目标a2?b2视为直线上的点?a,b?到原点的距离平方
x?x???1x?2x222原点到直线的最短距离的平方d2?1??2?x???1x????t2?2?2t2?1?t2?1?9t2?1?6?4（令5x?1?t） x45当且仅当x??1时，a2?b2的最小值为
点评：同学们，你们还记得之前做过的几道比较经典的转换主元的题目吗？找找看，把几道题目放在一起，发现它们的门道。
22
数学微频道 公众号微信：sxwpd8
好题速递287题
设数列?an?为等差数列，数列?bn?为等比数列，若a1?a2，b1?b2，且bi?ai2?i?1,2,3?，则数列?bn?的公比为 ．
22242解：b1b3?a1，又a1?a3?2a2 a3?b2?a2?a1a3??a222故a1,a3是方程x2?2a2x?a2?0或x2?2a2x?a2?0的根，显然第一个方程的解是
a1?a2?a3不符合，舍去，故a1,a3?2a2?22a2?1?2a2 2??22又由b1?b2?a1?a2??a1?a2??a1?a2??0
又a2?a1，故a1?a2?0?a2?0
2b3a3综上可得a1?1?2a2,a3?1?2a2??2?1?2b2a2??????2?3?22
好题速递288题
a2?b21??已知二次不等式ax?2x?b?0的解集为?x|x???，且a?b，则的最小值
a?ba??2为 ．
解：显然a?0且??4?4ab?0，故b?1a?2a?1a?a21，又a?b，故a?1?b， a1???a???2a???22 1a?a2好题速递289题
已知关于x的方程x2?2alog2x2?2?a2?3?0有唯一解，则实数a的值为 ． 解：这个方程显然直接解方程比较困难，因此越复杂的函数与方程越要从它的结构和性质入手来处理，我们可以发现这个函数f?x??x2?2alog2x2?2?a2?3是偶函数，故零点必关于原点对称。又由题意知函数的零点唯一，故必有且仅有f?0??0 解得a?1或a??3
注意有两解的情况要引起重视，往往需要检验。经检验，当a??3时，f?x?的零点不唯一，故a?1
????好题速递290题
23
数学微频道 公众号微信：sxwpd8
2若函数f?x??ax?20x?140对任意实数t，在闭区间?t?1,t?1?上总存在两实数?a??x1,x2，使得f?x1??f?x2??8成立，则实数a的最小值为 ．
解：式子f?x1??f?x2??8描述的是函数f?x?在区间?t?1,t?1?上的“身高” 而由t的任意性可知，题目只与函数的“形状”有关，与位置无关。 与f?x??ax2?20x?14?a?0?“相似”的标准二次函数是g?x??ax2
又因为函数在长度为2的区间内的“身高”恒大于等于8，故只需“最矮”时大于等于8即可。
由二次函数图象，显然可以发现当区间关于对称轴对称时，图象“最矮” 故只需g?1??g?0??8，即a?8
好题速递291题
已知等差数列?an?的通项公式为an?2n，公比为q的等比数列?bn?满足bn?an?n?N*?恒成立，且b4?a4，则公比q的取值范围是 ． 解：由b4?a4?8得bn?8?qn?4
从结构分析，等比数列?bn?是指数型函数上孤立的点，等差数列?an?是一次型函数上孤立的点
已知指数函数图象与一次函数图象至少在n?4时有一个交点 如果只有这一个交点，那么指数函数其他点都在一次函数上方；
如果指数函数与直线有两个交点，那么n?3或5的点，指数函数图象必须在直线上方
3?4??6?b3?a354??8?q故只需满足?，即?得q??,? ?5?4b?a43???10?44??8?q
好题速递292题
已知圆O为单位圆，A,B为圆上两点，以AB为边作正方形ABCD，则OD的取值范围是 ．
解：本题我们使用转化的思想来解决。
在圆O上固定一点A，点B在圆O上运动，点D满足AD?AB，且AD?AB。故点B绕点A旋转故把圆O绕点A旋转示。
显然OD2?OD?OD1，即OD??2?1,2?1?
???后即得点D 2?后得到圆O'即为点D的轨迹，如图所2好题速递293题
24
数学微频道 公众号微信：sxwpd8
在等差数列?an?中，a2?5，a6?21，记数列??1?m对?的前n项和为Sn，若S2n?1?Sn?a15?n?任意n?N*恒成立，则实数m的取值范围是 ． 解：an?4n?3，Sn?1????S2n?1?Sn?151 4n?3m111m即 ?????154n?14n?58n?115记f?n??111 ????4n?14n?58n?111??0 8n?94n?1151914 45因为f?n?1??f?n??故f?n?为单调递减数列，从而f?n?max?f?1????由条件得
m1414，解得m? ?15453
好题速递294题
已知函数f?x??x3?3ax?x??0,1??，若关于x的不等式f?x??a? ．
1的解集为空集，则实数4解：问题转化为x3?3ax?1对x??0,1?恒成立，求实数a的值． 4解法一：绝对值函数分类讨论可以，略 解法二： 参变分离法
11?x3?3ax?，即44x3?x3?11x3?4?3a?4 xx?令g?x??134?x2?1在x??0,1?上单调递增，故gx??max?，
x4x4令h?x??x3?14?x2?1?x2?1?1?3（这里也可以用导数去求） x4x8x8x4当且仅当x?故?3a?3413时取得等号，故h?x?min? 2431，即a? 4425
数学微频道 公众号微信：sxwpd8